1. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуі, дисперсиясы, модасы

Дискреттік кездейсоқ шамалар үшін математикалық күту (таралым ортасы, кездейсоқ шаманың орташа мәні):

M[x]=Σ x_ip_i,

Бұл жерде x_i – кездейсоқ шаманың і-мәні; p_i – кездейсоқ шаманың і-мәнін қабылдау ықтималдығы.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуі:

M[x]=

Дискреттік кездейсоқ шамалардың модасы деп шаманың ең ықтималдық мәнін айтады. Үздіксіз кездейсоқ шамалардың модасы деп ықтималдық мардымды тығыздылығына тиісті М₀ мәнін айтады.

Дискреттік кездейсоқ шамалардың дисперсиясы деп шашылуды айтады:

D[x]= Σ(x_i- (M[x])²)p_i,

Ал үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін:

D[x]=

КШ модасы деп ықтималдылықтың максималды тығыздығына тиісті мәнін айтады.

2. Вейбулл заңы және оның параметрлері

Техникалық жүйелердің сенімділігін бағалауда кең тараған таралымдардың бірі болып Вейбулл заңы болып табылады. Ол швед математигінің атымен аталған, заң Вейбулл материалдардың кедергісін зерттегенде қолданған.

Кездейсоқ шаманың берілген учаскедегі кезігу ықтималдығы

P(t)=

Бұл жерде a,b,c – таралым параметрлері, олар келесі шарттарды қанағаттандыру керек: a>0, b>0, c>0, мұндағы a-масштаб сипаттамасы,b-пішін сипаттамасы,c-ығысу сипаттамасы.

Бұл таралымның басқа көрсеткіштері келесі түрде анықталады:

F(t)=1- P(t) =

f(t) = ^b-1 ∙ e^b

λ(t) = ^b-1

кездейсоқ шаманың математикалық күтуі және орташа квадраттық ауытқуы:

t=ak_b+c_b, σ_t=ac_b

варияция коэффициенті: V_t= σ_t/ t

3. Істен шығу қарқындылығы және графигі(4-сурет УМК)

Графиктің бірінші аймағы 0-t₁ желіну аймағы болып саналады, онда істен шығу қарқындылығы алғашқы шамасымен салыстырғанда біршама төмендейді, өйткені алғашқы кезде тетіктердің өңдеу тазалығына байланысты кедір-бұдырлығына байланысты тез желініп, t₁ уақытына дейін қарқындық төмендейді. Екінші аймақта істен шығу λ(t) қарқындығы тұрақтанып, t1-t2 аралығында өсуі шамалы болғандықтан, бұл аймақты тұрақты түзу аймағы дейді. Себебі тетіктердің кедір-бұдырлықтары жойыла келе, дене беткейлері нығыздала түсуіне байланысты тетіктердің беткей беріктігі ұлғая түскенде беткейдің омырылғыштығы физика-химиялық қасиеттілігінің өзгеруіне байланысты жоғарылай түседі. Металдың ескіруінің әсерінен ол бұрынғы пайдалану жүктемелеріне төтеп бере алмай, істен шығу қарқындығы ұлғаяды да, оны металдың қажу аймағы дейді.

Қорыта келе істен шығу қарқындығы λ дегеніміз қарастырып отырған мезгілге дейін бұйым істен шықпаса, оның істен шығу ықтималдығын анықтайтын шарттық тығыздылық.

4. Техникалық қолдану мен дайындық коэффициенті

Дайындық коэффициенті k_r деп объектінің кез-келген уақыт ішінде жұмыс қабілеттілігінде болуын айтады, егер объектінің қолдануы жобаланған мерзім ішінде тағайындалуы бойынша қарастырылмаса:

k_r=t/t+t_b,

мұнда t – уақыттың кез-келген моменті; t_b- объектінің пайдаланбаған уақыты.

Техникалық қолдану коэффициенті k деп пайдалану кезінде объектінің жұмыс қабілеті күйіндегі уақыт интервалының математикалық күтуінің жалпы пайдалану уақытының, техникалық күту мен жөндеу уақыттары ескергенде, математикалық күтулердің қосындысына қатынасын айтады:

k =t_c/t_c+t_p+t_m.o,

мұнда t_c – іс істеу мерзімінің жинағы,сағ; t_p,t_m.o – жөндеу мен техникалық күтуге жұмсалған уақыттардың қосындысы,сағ.

5.Кездейсоқ шаманың нормальдық таралым заңы (Гаусс заңы)

Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдылығының таратылымының келесі түрдегі тығыздығы нормальдық таралым заңы деп аталады.

f(x)=

а-математикалық күту, σ-орташа квадраттық ауытқу.

6. Интегралдық функция гистограммасы қалай құрылады.

Бірнеше әртүрлі шамадағы интервалы бар гистограмманы құрасытру кезінде аздау санды инверсиясны ие гистограмманы ең жақсы деп санағаны дұрыс. Инверсияның белгісі ретінде тіктөртбұрыш биіктік белгісінің өсу өзгерісі саналады. Егер инверсия саны бірдей болатын болса, онда үлкен санға ие интервалды жақсы деп санаған дұрыс.

Статикалық қатардың берілгені бойынша кездейсоқ шаманың тағы бір сипаттамасы- тараудың эмпирикалық интегралды функциясын анықтауға болады. Fj интервалындағы j-үшін тараудың эмпирикалық интегралды функциясының мәнін мына формула арқылы анықтауға болады:

(3.2)

F(x) таралу функциясы әдетте гистограммаға ұқсас график түрінде көрсетілуі мүмкін, тек тіктөртбұрыш биіктігі таралу функциясына сәйкес келетін интервал мәніне тең болады.

3.2.суретінде мысалдың графигі келтірілген

3.2 сурет – Тәжірибелі берілген таралу функциясының эмпирикалық интегралды графигі

X кездейсоқ шамасы берілген x мәніне тең немесе аз болған жағдайының ықтималдылығын анықтайтын гистограммасымен салсытырғанда, таралудың интегралды функциясы аса жан- жақты таралу сипаттамасы болып табылады. Таралудың эмпирикалық интегралды функциясы жағдай жиілігін(тәжірибелі ықтималдылық) X ≤ x анықтайды.

7. кездейсоқ шаманың экспоненциалдық таралым заңы Егер кездейсоқ шаманың берілген учаскіде кезігу ықтималдығы Р(x) =е^-λх болса, онда оны экпоненциялдық (көрсеткіштік) заңыны бағынады. Экпоненциялдық заңның кездейсоқ шамасының мәні х≥0 болған жағдайда функция тығыздылығы f(x)= λ е^-λх , бұл жерде λ- таралым параметрі.

Экспоненциялдық заңның интегралдық функциясы:

F[x]= =

Үздіксіз кездейсоқ шаманың Х(а,в) интервалына түсу ықтималдығы экспоненциялдық заң бойынша келесі формуламен анықталады:

Р(a<X<b)=-

экспоненциялдық заң бойынша таратылған математикалық күтім, дисперсия, орташа квадраттық ауытқу сәйкесінше келесідей анықталады:

M[x]=1/ λ; D(x) =1/ λ; σ(x) =1/ λ

8. Келісім критериялары не үшін орындалады? Колмогоров критериі

Қабылданған гипотезаның дұрыстығын айқындайтын шарттар жиынтығын келісу критериясы деп түсінеді. Қатенің екі түрі болуы мүмкін: дұрыс гипотезаны қабылдамау және кері гипотезаны қабылдау. Бірінші жағдайда қатені қателердің бірінші тегіне жатқызады да, оны α әріпімен белгіленеді, ал екінші жағдайда қатені қателердің екінші тегіне жатқызып, β деп белгілейді.

α-ны келісу критериясының маңыздылық деңгейі деп атайды. (1- β) шамасын қате гипотезаны қабылдамау ықтималдығы дейді де, ол критерияның қуатын сипаттайды. Колмогоров критериясы

Таралымның эмпирикалық функциясын Ғ^*х және теоретикалық функциясын Ғх құрып, алдын-ала таралым заңын болжайды. Гипотезаны тексеру Д мөлшерінің көмегімен жүргізіледі

Д Ғ^*х Ғх

Тәжірибе жүзінде есептеулерді жүргізу үшін келесі формулаларды қолданады:

Д⁺max1/N-Fx_i егер 1 і  N

Д^max Fx_i  i-1/N егер 1 і  N

Д_max мәнін  санын анықтауға қолданады:

 Д_max  N

Ғх функциясының интегралын есептеу үшін келесі өрнекті қолданады:

Ғх0,5Ф х 0,5Фt

Фt мәні кестеленген.

Колмогоров критерийінің артықтылығы болып, оның айғақтылықты бағалаған кезде іріктеу көлемі аз болған жағдайда да мүмкіндік беретіні.