Модели стационарных и нестационарных временных рядов
1
Стационарные временные ряды
|
|
1 |
T2 |
|
1 |
T4 |
(1) |
y1 |
|
yt |
|
yt y2 |
|||
|
|
|
|
||||
T2 |
T1 t T1 |
T4 |
T3 t T3 |
|
|||
|
|
|
1 |
T2 |
|
|
1 |
T4 |
|
D1 |
y |
|
yt y 2 |
|
|
yt y 2 D2 |
у (2) |
||
|
|
|
|
||||||
|
T2 |
T1 t T1 |
T4 |
T3 t T3 |
|
||||
T2 i y y y |
t i |
y |
T4 i y y y |
t i |
y |
|
|||
ri 1 |
t |
|
|
t |
|
ri 2 ,i 1,2,... (3) |
|||
T2 T1 i D y |
T4 T3 i D y |
||||||||
t T1 |
t T3 |
|
|||||||
2
Параметрические тесты стационарности
- тестирование математического ожидания
1,T : y1 , y2 ,..., yT
y1, y2 ,..., yT1
yTi 1 , yTi 2 ,...yT ,T2 T T1
y1, y2 , s12 , s22
3
критерий Стьюдента:
12 |
22 : |
|
|
|
|
|
y1 y2 |
|
|
|
(4) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
s2 |
|
s |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
T2 |
|
|
|||||
1 |
2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 T2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
кр. ;T 2 |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4
критерий Фишера: |
|
|
||||
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
Tj y j |
y 2 |
||
|
|
n |
|
|||
F |
|
1 j 1 |
|
(7) |
||
|
|
|
s 2 n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
s 2 n 1 |
|
Tj 1 s j2 |
|
|
|
|
n |
T |
n j 1 |
||
|
|
n |
|
8 |
|
; n 1; |
|
|
|
F Fкр. |
Tj n |
|||
|
|
j 1 |
|
5 |
Параметрические тесты стационарности
- тестирование дисперсии
критерий Фишера:
F |
s2 |
(9) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
s22 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fкр. 1 / 2;T1 1;T2 1 F Fкр. / 2;T1 1;T2 1 |
10 |
|||||||
F / 2; v1;v2 |
1 |
|
|
11 |
|
|||
|
|
|
|
|||||
F 1 / 2; v1;v2 |
|
|||||||
F Fкр. / 2;T1 1;T2 1 |
(s12 s22 ) |
12 |
6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стандартизованное нормальное распределение:
|
|
1 |
s12 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
2 ln |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
s2 |
v |
|
v |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
40 T 100 : |
Ф |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
~ N(0,1) |
13 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
T 100 : |
Ф s1 s2 |
s2 |
|
s2 |
~ N (0,1) |
14 |
|
1 |
|
2 |
|||||
2T |
2T |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
Φ Ф / 2 |
15 |
7
критерий Кокрена: |
|
|
smax2 |
|||
T1 T2 |
... Tn : |
K |
|
|||
s2 |
... s2 |
|
||||
|
|
|
1 |
n |
||
smax2 |
max s2j , |
____ |
|
|
|
|
j 1, n |
|
|
||||
|
|
j |
|
|
|
|
K ; n; N 1 |
|
|
|
|
||
|
|
F 1 / n; N 1; n 1 N 1 |
||||
n 1 F 1 / n; N 1; n 1 N 1 |
||||||
K K ; n; N 1 |
18 |
|
|
|||
16
17
8
критерий Бартлетта:
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
s2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Ti |
1 ln |
i |
|
19 |
|||||||
|
|
c |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|||
|
|
|
~ 2 (n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
Ti 1 si2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ti 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c 1 |
|
|
1 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 n 1 |
Ti 1 |
|
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i 1 |
|
Ti 1 |
|||||||||||
i 1
(при больших Т с 1) |
9 |
i Ti |
1 |
|
|
|
|
||||
v1 v2 ... vn v |
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ti 1 T n |
|
|
|
||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
n |
|
20 |
|
c |
nv ln s 2 |
si2 |
|
||||||
|
|
|
|
n |
i 1 |
|
|
||
c 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||
|
3 n v |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 ,n 1
10