§4. Теорема Гёделя

Теорема Гёделя. Если множество предложений S непротиворечиво, то оно выполнимо.

Доказательство: доказательство состоит из 3^х частей:

I часть – строится специальное множество предложений Т, содержащее S.

II часть – доказывается, что множество Т непротиворечиво.

III часть – строится модель, для которой истинны все предложения ИВ множества Т, т.е. в частности и предложение из множества S.

I часть:

Построим множество Т. Пусть множество S – непротиворечивое множество сигнатуры . Добавим сигнатуре счетное множество символов const, не встречающихся во множестве S

Тогда M = {C₀,C₁,…,C_m,…} - счетное множество

Тогда ’=(UM)

Тогда, очевидно, множество сигнатуры множества будет содержать все формулы сигнатуры и всевозможные формулы вида

A{C₁,…,C_i,x_i+1,…,x_n}

^{const своб. переем.}

Поскольку ’- счетное, мы можем занумеровать все предложения в сигнатуре следующим образом

A₁, A₂,…, A_n (3)

Исходное множество T тогда будет полным в сигнатуре ’ и его построение аналогично конструкции в предыдущей теореме Линденбаума.

Индукцией по n построим последовательность:

S₀, S₁,…, S_n,… (4)

1) S₀=S

2) Предположим, S_n – определено (построено)

3) S_n+1 будет определяться следующим образом.

Если S_n U{A_n+1}- непротиворечивое и {A_n+1}-не начинается с (), то S_n+1 = S_n U {A_n+1}

Если же S_n U{A_n+1} – непротиворечивое и для некоторой формулы B(x) A_n+1 – начинается с ():A_n+1 = (x)B(x), то S_n+1 можно рассмотреть

S_n+1 = S_n U{A_n+1}U{B(C_in)}

C_in – первый символ const из М, который не входит в расширение Sn U{A_n+1}

Если множество {A_n+1} противоречиво, то S_n+1=S_nU{}

Следовательно, искомое множество T мы можем положить равным:

T=_n

II часть

По построению: S_n (n>0) получается из предыдущего добавлением некоторых предложений сигнатуры G’ среди которых найдется одно предложение вида An (либо )

S₀S₁…S_nS_n+1…

(n) мы можем записать

A_nS_n (либо S_n)

Покажем, что множества S_n непротиворечивы.

1) S₀=S – непротиворечивое по условию

2) Предположительно S_n – непротиворечиво

3) Рассмотрим S_n+1

Если S_n U{A_n+1} – противоречиво, то, очевидно, S_n U {} –непротиворечиво.

S_n+1 = Sn U{A_n+1}- непротиворечиво

Если Sn U {An+1} – непротиворечиво и {An+1} – начинается с квантора .

A_n+1 = x B(x),

то S_n+1 = S_n U{A_n+1}U{B(C_in)},

где C_in – первый символ const из множества M, не входящий в предложение S_n и A_n+1

Предположим: S_n+1 – противоречиво, тогда существует такое предложение D сигнатуры ’, что

(D) ’ Sn+1├ (D&)

Из этого противоречивого множества выводится либо D, либо его отрицание.

Sn, A_n+1, B(C_in) ├ (D&) (*)

По правилу контрапозиции к (*) можем записать:

Sn, A_n+1, ├ (**)

├ [доказуемо в ИП (см. лемма 8 а, §4, гл. 2)]

Тогда S_n, A_n+1 ├ (***)

Рассматривая (***) мы можем заметить (C_in) не встречаться в S_n, A_n+1, то символ (C_in) в выводе играет пассивную роль, т.е. вместо (С_ir) можно было подставить символ какой-либо переменной [например t] не встречающейся в S_n, A_n+1.

В результате мы получаем вывод Sn, A_n+1 ├ (****)

Очевидно, можно к (****) применить правило

Sn, A_n+1 ├ (t ) (5)

По теореме 5 для любого t B(t) можно записать:

t t (5’)

x B(x) t

Из 5 и 5’ получаем: Sn, An+1 ├ , Sn, A_n+1 ├ tBt

Но это противоречит тому, что A_n+1 – непротиворечиво, удовлетворяет условию леммы 2 и следовательно

T=_n – непротиворечиво.

Кроме того, каждое предложение А сигнатуры ’ совпадает с A_n(5), поэтому

A_nT }либо T ├ A,

T T ├

т.е. Т полно в сигнатуре ’

III часть. Построение модели <M, ’>

В качестве множества М в данной модели возьмем

М = {C₀,C₁,…,C_m,…}

<P₁ⁿ¹,P₂ⁿ²,…,P_k^nk,…>

к.-л. промежуточный предикат:

И, если Т ├ P_jk(C_i1,…,C_ik))

Л, если T ├ jk(C_i1,…,C_ik)

(_j)( C_i1,…,C_ikM)

т.к. T – непротиворечиво (II часть) и полно,

то либо T ├ P_kj(Ci1,…,C_ik), либо T ├ _kj(C_i1,…,C_ik).

Тогда говорят, данная интерпретация корректна.

Покажем, что в построенной модели <M, ’> истинны все предложения из множества T, и, следовательно, из множества S.

Чтобы доказать это, докажем, что для любого предложения А сигнатуры ’ справедливо предложение:

А ИT ├ (6)

Доказательство, выражения (6) проведем индукцией по длине построения А.

1 случай.

Пусть А – атомарная, простейшая формула типа предиката

A = P_kj(C_i1,…,C_ik)

Тогда, согласно интерпретации предикатных символов модели М мы можем записать: тогда и только тогда когда

A = И P_jk(C_i1,C_ik) И T ├ P_jk(C_i1,…,C_ik)

А являются истинными или выводимо из Т.