дз на зиму КиЦОИ / tspd-06

1. Введение

Модульнаяарифметика(Modular Arithmetic)

Одна из функций кодирования и декодирования: операции сложения и умножения в соответствии с правилами для алгебраического поля с ограниченным количеством элементов

Поле Галуа: алгебраическое поле с q элементами – GF(q):

Для двоичной системы счисления q = 2 (элементы 0 и 1)

Простейшее поле – это поле GF(2)

В общем случае если q – простое целое число, ограниченное поле GF(q) состоит из элементов {0, 1, …, q – 1}

Операции сложения и умножения над элементами из GF(q) осуществляется по модулю q

Варифметике по модулю q используются только целые числа

вдиапазоне от 0 до q–1, включительно

1. Введение

Арифметикапомодулю2 (Modulo-2 Arithmetic)

Арифметика по модулю 2: используется в большинстве случаем при передаче данных

Операция сложения (и вычитания) по модулю 2 соответствует операции XOR (исключающее ИЛИ). Примеры операции XOR:

Два одинаковых бита: результат – 0

Рис. 3.4. Операция XOR

Если оба элемента одинаковы – результат 0; если элементы разные – результат 1

2. Блочноекодирование

Пример1 Рассмотрим блочный код 4B/5B : исходная информационная последовательность двоичных символов делится на информационные слова длиной k = 4 бит. Кодер заменяет каждое слово на соответствующее кодовое слово длиной n = 5 бит

Рис. 3.7. Замена комбинаций

вблочном кодировании

Множество из 16 комбинации информационного слова отображается лишь на часть (разрешенных) комбинаций кодового слова; остальные не используются

Каждый код должен содержать не более одного нулевого бита вначале кода (слева) и не более двух нулевых бит в конце (справа)

кодовые слова не могут содержать более чем три последовательных нулевых бита, что облегчает тактовую синхронизацию

2. Блочноекодирование

Обнаружениеошибок

Два условия возможности обнаружения искажений в кодовом слове:

Приемник обладает списком разрешенных комбинаций кодового слова

Передаваемое кодовое слово в результате искажений преобразуется в одну из

разрешенных комбинаций

Рис. 3.8. Обнаружение ошибок в процессе блочного кодирования

Если кодовое слово не приеме принадлежит одной из разрешенных комбинаций, то оно принимается, в противном случае кодовое слово отбрасывается

Разрешенная

комбинация

Пусть инф. слово 01 кодируется в кодовое слово 011, рассм. три случая: (ложный прием)

1.Получатель принимает 011, что является верным, и извлекает из него информационных код 01

2.Кодовое слово искажается и принимается комбинация 111 (бит слева искажен). Такой разрешенной комбинации не существует и код отбрасывается

3.Кодовое слово искажается и принимается комбинация 000 (два бита справа искажены). Извлекается неверное информационное слово 00

2. Блочноекодирование

Исправлениеошибок

Для исправления ошибок требуется определить, какая конкретно комбинация передавалась

Требуется больше избыточных бит и схема кодирования

Пусть информационное слово 01 кодируется в кодовое слово 01011:

Второй бит справа искажается, принимается комбинация 01001

Принятое слово 01001 сравнивается со всеми разрешенными и определяется количество различных бит

Комбинация отличающаяся не более чем на один бит – верная (01011)

2. Блочноекодирование

РасстояниеХэмминга

Расстояние Хэмминга: определяется количеством различий между соответствующими битами в словах

Обозначается d(x, y), x и y – слова одинаковой длины

Определяется операцией XOR ( ) над двумя словами и подсчетом количества единиц в результате

Вес кодового слова: это количество единиц в кодовом слове

Расстояние Хэмминга между двумя словами определяется как количество различий между одноименными битами (вес результата XOR)

Пример4

Расстояние Хэмминга между словами:

Расстояние Хэмминга d(000, 011) равно 2, так как 000 011 = 011 (два единичных символа в слове).

Расстояние Хэмминга d(10101, 11110) равно 3, так как 10101 11110 = 01011 (три единичных символа в слове).

2. Блочноекодирование

МинимальноерасстояниеХэмминга

Минимальное расстояние Хэмминга dmin: определяется как наименьшее расстояние Хэмминга между всеми возможными парами комбинаций кода

Минимальное расстояние Хэмминга определяется как наименьшее расстояние Хэмминга между всеми возможными парами на множестве комбинаций кода

Решение

2. Блочноекодирование

МинимальноерасстояниеХэмминга

Находим все возможные расстояния Хэмминга для кода из табл.:

Три основных параметра кодирования: длина кодового слова n; длина информационного слова k; минимальное расстояние Хэмминга dmin

Форма записи схемы кодирования: C(n, k) с dmin

Примеры записи: для Примера 5: C(3, 2) с dmin = 2;

для Примера 6: C(5, 2) с dmin = 3

2. Блочноекодирование

МинимальноерасстояниеХэмминга

Связь корректирующей способности кода с расстоянием Хэмминга

Расстояние Хэмминга между принятым и переданным кодовыми словами точно соответствует количеству искаженных бит

Например, передается 00000, а принимается 01101. Три бита искажены и расстояние Хэмминга равно d(00000, 01101) = 3

Минимальное расстояние Хэмминга при обнаруженииошибок

При необходимости обнаружения вплоть до to ошибок минимальное расстояние между разрешенными кодовыми словами должно быть dmin ≥ to + 1. В этом случае ошибки в кодовом слове не приводят к его трансформации в одну из разрешенных комбинаций, т.к. их не достаточно

Условие dmin ≥ to + 1 дает гарантированное обнаружение вплоть до to ошибок в слове

Если ошибок в принимаемом слове больше to, то они также могут быть обнаружены но не гарантированно (не для всех комбинаций)

Для гарантированного обнаружения вплоть до s ошибок в кодовом слове минимальное расстояние Хэмминга должно быть dmin ≥ to + 1