Тренировочные задания
1. Имеются данные о распределении населения по величине среднедушевых денежных доходов (табл. 2.5.1):
Таблица 2.5.1
Исходные данные
|
Доходы населения, руб. в мес. |
В % |
|
2003 г. | |
|
Все население |
100,0 |
|
В том числе со среднедушевыми денежными доходами: до 1000,0 1000,1-1500,0 1500,1-2000,0 2000,1-3000,0 3000,1-4000,0 4000,1-5000,0 5000,1-7000,0 свыше 7000,0 |
5,6 11,6 13,9 24,8 16,8 10,3 10,1 6,9 |
// Белгородская область в 2003 году. Статистический сборник/ Белгородстат. – 2004, с. 113
Рассчитайте показатели:
1) среднего дохода, модального дохода, медианного значения дохода;
2) определите величину дохода, соответствующую I квартилю;
3) постройте гистограмму и кумуляту распределения населения РФ по величине среднедушевых денежных доходов;
4) 1-й и 9-й децили;
5) децильный коэффициент дифференциации доходов населения;
6) индекс концентрации доходов (коэффициент Джини), постройте кривую Лоренца;
7) рассчитайте коэффициент вариации.
Решение:
1) Составим дополнительную табл. 2.5.2.
Таблица 2.5.2
Распределение населения Российской Федерации по величине среднедушевых денежных доходов в 2003 г.
|
Среднедушевые денежные доходы, руб. в мес. (хi) |
Доля населения, % к итогу
(fi) |
Сере- дина интер- вала (х'i) |
Плотность распределения
(mi=fi/i) |
|
|
|
До 1000 |
5,6 |
750 |
0,0112 |
5,6 |
8,40 |
|
1000,1 – 1500,0 |
11,6 |
1250 |
0,0232 |
17,2 |
29,00 |
|
1500,1 – 2000,0 |
13,9 |
1750 |
0,0278 |
31,1 |
48,65 |
|
2000,1 – 3000,0 |
24,8 |
2500 |
0,0248 |
55,9 |
62,00 |
|
3000,1 – 4000,0 |
16,8 |
3500 |
0,0168 |
72,7 |
58,80 |
|
4000,1 – 5000,0 |
10,3 |
4500 |
0,0103 |
83,0 |
46,35 |
|
5000,1 – 7000,0 |
10,1 |
6000 |
0,0051 |
93,1 |
30,60 |
|
Свыше 7000,0 |
6,9 |
8000 |
0,0035 |
100,0 |
28,00 |
|
Итого: |
100,0 |
|
0,1227 |
|
311,80 |
2) Рассчитаем показатели центра распределения:
а) Средний
доход населения
определим по средней арифметической
(в нашем примере наблюдается неравномерное
распределение признаков внутри
интервалов, т.е. постепенное увеличение
интервалов, частоты для расчета
структурных характеристик рядов
распределения использованы быть не
могут). Для сопоставления групп
используется плотность распределения
(
),
характеризующая число единиц совокупности,
приходящиеся на единицу длины интервала
(fi/i):
б) Модальный доход (М0) – это наиболее распространенный уровень дохода населения.
Модальный интервал определяется по максимальной плотности, а мода рассчитывается следующим образом:
в) Медианный доход (Ме) – уровень дохода, делящий ряд распределения дохода на две равные части: половина населения имеет душевой доход не превышающий медианное значение дохода, другая половина – доход не менее медианного. Расчет производится по следующей формуле:
г) Определим величину дохода, соответствующего I квартилю.
Квартили - уровни дохода, делящие совокупность на четыре равные части.
Различают квартиль
нижний (Q
)
отделяющий ¼ часть совокупности с
наименьшими значениями признака, и
квартиль нижний (Q
),
отсекающий ¼ часть с наибольшими
значениями признака.
Величина дохода,
соответствующего I
квартилю
(Q
),
рассчитывается по формуле:
где x
- нижняя
граница интервала, содержащего нижний
квартиль (интервал определяется по
накопленной частоте, первой превышающей
25%);
S
- накопленная
частота интервала, предшествующего
интервалу, содержащему нижний квартиль;
f
- частота
интервала, содержащего нижний квартиль.
Q
=
1500,1 + 500*(25 – 17,2/ 13,9) = 1780,68 руб.
д) Построим гистограмму и кумуляту распределения населения РФ по величине среднедушевых денежных доходов в 2003 году.
Рис 2.5.1 Гистограмма распределения населения РФ по величине среднедушевых денежных доходов в 2003 г.
Рис 2.5.2 Кумулята распределения населения РФ по величине среднедушевых денежных доходов в 2003 г.
е) Рассчитаем 1-й и 9-й децили.
Децили
– варианты, делящие ранжированный ряд
на десять равных частей. Первый
дециль (D
)
делит совокупность в соотношении 1/10
к 9/10, девятый
дециль (D
)
делит в соотношении 9/10 к 1/10.
,
т.е. 10% населения имели доход не более 1189,76 руб.;
,
т.е. 10% населения имели среднедушевой доход более 6386,24 руб.
ж) Используя рассчитанные децили, вычислим децильный коэффициент дифференциации, оценивающий степень дифференциации населения по размеру среднедушевого дохода.
Децильный коэффициент дифференциации доходов (Kd) – показывает, во сколько раз минимальный доход среди 10% самого обеспеченного населения превышает максимальный доход среди 10% наименее обеспеченного населения; он исчисляется сопоставлением девятого и первого децилей:
Следовательно, в 2003 году минимальный доход 10% наиболее обеспеченного населения в 5,37 раза превышал максимальный доход 10% наименее обеспеченного населения;
3) Рассчитаем индекс концентрации доходов (коэффициент Джини):
где k - число интервалов группировки;
pi - доля населения, имеющего среднедушевой доход, не превышающий верхнюю границу i-го интервала;
q - доля доходов i-й группы населения в общей сумме доходов, рассчитанная нарастающим итогом.
Для расчета коэффициента Джини составим табл. 2.5.3, в которой используем данные табл. 2.5.1 и 2.5.2.
Таблица 2.5.3