1.8.3 Определение необходимого объема выборки

В практике проектирования выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной точности расчета генеральных характеристик – средней и доли. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдении, исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливаемой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.

Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соответствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки.

При случайном повторном отборе численность выборки определяется по формуле:

(1.8.14)

При случайном бесповторном и механическом отборе численность выборки вычисляется по формуле:

(1.8.15)

Для типической выборки:

- повторный отбор (1.8.16);

- бесповторный отбор (1.8.17)

Для серийной выборки:

- повторный отбор (1.8.18);

- бесповторный отбор (1.8.19)

При этом в зависимости от целей исследования дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или доли признака.

Основные вопросы, решаемые при расчете численности выборки:

1)необходимо принять решение о размере допустимой погрешности;

2)коэффициент кратности t определяется согласно принятой вероятности результата исследований;

3)в приведенных формулах вместо фактических значений дисперсии и доли используются приблизительные значения, полученные на основе ранее проводимых исследований, либо на основе пробных выборок.

4)если планируется выборка для исследования доли альтернативного признака, то в формулы подставляется максимально возможное значение дисперсии;

5)расчет численности выборки производится несколько раз, исходя из требований точности для всех изучаемых признаков. В качестве окончательного решения выбирается наибольшее из полученных значений;

6)если полученные значения n различаются в 6, 7 и более раз, то выборка организуется как многоступенчатая;

7)если объем генеральной совокупности достаточно велик (более 100 тыс.), то используются формулы для повторного отбора независимо от типа планируемой выборки.

Рассмотрим примеры определения необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности.

Пример 1. В районе проживает 2500 семей. Предполагается провести их выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора для нахождения среднего размера семьи. Определить необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит одного человека при среднем квадратическом отклонении три человека.

Решение. При бесповторном случайном отборе необходимый объем выборки по формуле (1.8.15) составит:

Пример 2. В городе А проживает 15 тыс. семей. С помощью механической выборки предполагается определить долю семей с тремя детьми и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка выборки не превышала 0,04, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,3?

Решение. Определим необходимую численность выборки по формуле (1.8.15):

Пример 3. С целью определения доли рабочих акционерного общества области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорциональную численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число рабочих акционерного общества составляет 15 тыс. чел., в том числе 9 тыс. мужчин и 6 тыс. женщин.

На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1800. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.

Решение. Рассчитаем общую численность типической выборки по формуле (1.8.17):

Вычислим теперь объем отдельных типических групп:

Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности рабочих акционерного общества области составляет 621 чел., в т. ч. 373 мужчин и 248 женщин.

Пример 4. В коммерческом банке 230 отделов с работниками. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного веса работников, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество отделов для обследования работников, если ошибка выборки не должна превышать 5%.

Решение. Необходимое количество отделов рассчитаем на основе формулы объема серийной бесповторной выборки по формуле (1.8.19):