1.6.2 Виды средних и способы их вычисления

В экономических исследованиях и плановых расчетах применяются два класса средних:

• степенные средние;

• структурные средние.

К категории степенных средних относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, кубическая и т.д. Величины, для которых исчисляется средняя, обозначаются буквой х. Средняя обозначается через . Такой способ обозначения указывает на происхождение средней из конкретных величин. Черта сверху символизирует процесс осреднения индивидуальных значений.Частота – повторяемость индивидуальных значений признака – обозначается буквой f.

Формулы средних величин могут быть получены на основе степенной средней, для которой определяющей функцией является уравнение:

(1.6.2)

откуда

(1.6.3)

В дальнейшем при написании формул средних подстрочные значки i, n использоваться не будут, но подразумевается, что суммируются все произведения .

В зависимости от того, какое значение приобретает показатель степени k, получают различные виды средних величин, их формулы представлены в таблице 1.6.1.

Как видно из данных табл. 1.6.1, взвешенные средние учитывают, что отдельные варианты значений признака имеют различную численность, поэтому каждый вариант «взвешивают» по своей частоте, то есть умножают на нее. Частоты f при этом называются статистическими весами или просто весами средней.

Однако необходимо учитывать, что статистический вес – понятие более широкое, чем частота. В качестве веса могут применяться какие-либо другие величины (в табл. 1.6.1 они обозначены буквой w). Частоты отдельных вариантов могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными – частостями.

Таблица 1.6.1

Формулы различных видов степенных средних величин

Зна- чение k	Наименование средней	Формула средней величины
		простая	взвешенная
-1	Гармоническая
0	Геометрическая
1	Арифметическая
2	Квадратическая

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая. Средняя арифметическая простая (невзвешенная) используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

Пример: уставный капитал сформирован 7 учредителями акционерной компании, размер взноса каждого из них составляет, млн. ден. ед.: 7, 12, 4, 6, 10, 9, 8. Средний взнос одного учредителя составил (см. табл. 1.6.1):

По формуле средней арифметической простой вычисляются также средние в хронологическом ряду, если интервалы времени, за которые приводятся значения признаков, равны.

При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Пример: по результатам сдачи экзамена по дисциплине «Рынок ценных бумаг» студентами группы ЭК – 31 получены следующие данные:

Таблица 1.6.2