книги из ГПНТБ / Основы автоматизированного электропривода учеб. пособие

Из (9-76) и (9-77) можно получить соотношения:

^ctl = lA!

i’p i = y f ( iB ~ ic) ’

которые полностью совпадают с формулами преобразова­ ния (9-66) при условии ы + ie + ic = 0.

Аналогичным образом можно определить вектор тока

идеализированную двух­ фазную асинхронную машину, схема которой приведена на рис. 9-19. Положим,что числа витков статора и ротора этой машины равны соответствующим числам витков обмоток реальной асинхронной машины. Статор и ротор идеализированной машины неподвижны друг относительно друга, а их обмотки расположены по ортогональным осям а и Р, как показано на рис. 9-19. Допустим далее, что в цепи обмоток ротора включены источники э. д. с., определяе­ мые выражениями

6а2 = сйэ^рг и еР2 =

460

При указанных допущениях такая идеализированная двухфазная асинхронная машина описывается уравне­ ниями (9-68)—(9-71). Если допустить, что токи и потокосцеплеиия этой машины связаны с соответствующими ве­ личинами реальной трехфазиой машины формулами (9-66) и (9-67), то можно принять, что обе машины эквивалентны друг другу, поскольку они описываются одной и той же системой уравнений. Следовательно, физический смысл формул преобразования (9-66) и (9-67) заключается в том, что реальная трехфазная асинхронная машина приводится к некоторой идеализированной двухфазной машине, экви­ валентной трехфазной по величинам н. с., создаваемых токами статора и ротора. Цри этом статор и ротор идеали­ зированной машины оказываются неподвижными друг относительно друга. Именно поэтому ее уравнения не со­ держат периодических коэффициентов. Угловая скорость ротора относительно статора реальной машины учитыва­ ется с помощью дополнительных э. д. с., называемых

э. д. с. вращения.

В идеализированной машине не происходит преобра­ зование электрической энергии в механическую и обратно, так как ее статор и ротор неподвижны друг относительно друга. Поэтому в такой машине механическая, мощность должна быть представлена равной ей электрической мощ­ ностью. Эта электрическая мощность запасается в источ­ никах дополнительных э. д. с. Действительно, суммарная мощность указанных источников равна!

£(Х2^ос2 Ч- ^рг^рг = ®з (^рг^'ога ^аг^'рг)-

Используя формулы для и Ч'рз из (9-70) и соотно­ шение (9-71) для момента, последнее выражение можно представить в виде

Следовательно, наличие дополнительных э. д. с. в об­ мотках идеализированной машины отражает преобразова­ ние электрической мощности в механическую в реальной машине.

Уравнения (9-68)—(9-71) могут быть представлены в векторной форме, если ввести комплексные переменные по формулам!

461

При их использовании система уравнений асинхрон­ ной машины принимает вид.'

(Wi , D -

где символ «*» означает комплексно-сопряженную вели­ чину.

фазной машины, а го1, ip* и т. д. есть проекции указанных векторов на оси координатной системы. Векторы потоко­

сцеплений FX и xF2, определяемые третьим и четвертым выражениями из (9-78), могут быть представлены в виде

«о1? 1 = Жц. (г 1 + г2 ) + (жв — ж^) ix\

(9-79)

Шо1? 2 = Яц ( h + н ) + ( X r - Жц) г2-

Сумма векторов ц и ц представляет собой вектор ре­ зультирующего тока, равный геометрической сумме век­ торов всех фазных токов статора и ротора. Обозначим

ix + г2 = V Поскольку параметры обмотки ротора при­

ведены к числу витков обмотки статора, то вектор iц, про­ порционален результирующей н. с. асинхронной машины и является мгновенным вектором намагничивающего тока. Поэтому (9-79) можно записать следующим образом:

'F1=4V + ¥ 01;

(9-80)

У , = % + % „

где XF^ — мгновенный суммарный вектор главного потокесцепления асинхронной машины;

462

¥ а1 и Чга2 — мгновенные суммарные векторы потокосцеплепия рассеяния статора и ротора.

Векторы ¥ а1 и ¥ а2 характеризуют суммарные маг­ нитные поля, создаваемые в данный момент времени токами всех фаз асинхронной машины.

Значительный интерес представляет анализ результа­ тов решепия опстемы уравнений асинхронной машины при постоянной скорости ее вращения. При (оэ = const первые четыре уравнения из (9-78) являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффи­ циентами. Эти уравнения решаются независимо от пятого и шестого уравнения из (9-78). По найденным зависимо­ стям токов от времени можно найти далее зависимость момента двигателя от времени.

Подставляя ¥ х и ¥ 2 из третьего и четвертого уравнения системы (9-78) в первые два уравнения этой системы, полу­

Решение системы (9-81) при юэ = const состоит из принужденных ^2уст ^ свободных ijgg, i2cB составляю­ щих. Полагая в (9-81) = -1- Т^св я /2 — ^ауст Ч- + 72св и учитывая, что принужденные составляющие, являющиеся частным решением (9-81), удовлетворяют этой системе, получаем уравнения для определения сво­ бодных составляющих в виде

Из (9-82) и (9-83) видно, что решение (9-82), определяю­ щее свободные векторы токов статора и ротора асинхрон­

463

ного двигателя не зависит от вида питающего напряже­ ния (синусоидальное, несинусоидальное или др.), а опре­ деляется начальными условиями, параметрами и угловой скоростью двигателя.

Характеристическое уравнение, соответствующее си­

Из (9-86) можно найти вещественные части решения, представляющие собой коэффициенты затухания свобод­ ных токов статора и ротора:

На рис. 9-20 приведены зависимости коэффициентов затухания и а 2 от угловой скорости, построенные по (9-87)., При скорости, равной нулю, а х = 0, а а 2 достигает наибольшей величины. С увеличением угловой скорости

464

ct! увеличивается, а сс2 уменьшается и при скорости соэ = = 2со0а ' их значения сравниваются и далее не изменяются. Важно отметить, что а х и а 2 не зависят от направления вра­ щения ротора, а определяются только его скоростью. Этот вывод следует также из зависимости (9-87), которая является четной функцией относительно соэ.

При мэ = 0 коэффициент затухания а х = 0. Это озна­ чает, что одна из свободных составляющих токов не за­ тухает во времени, что практически невозможно. Если

Рпс. 9-21. Зависимости коэффициентов затухания (а) и частот (б) пзмепеппя свободных составляющих момента асинхронного двигателя мощностью 28 кВт от его угловой скорости (а' = 0,185; а ’ = 0,205;

а = 0,067).

Из приведенных соображений следует, что при под­ ключении к сети асинхронного двигателя, вращающегося с постоянной угловой скоростью, возникают переходные процессы, при которых векторы токов статора и ротора описываются выражениями

ii = Г1УСТ+ А п е - ^ ' е ^ 1+ А 12е~“=ге^'; |

Ч = Чует + И21е -“*'е^>' + Л22е -“’'е ^ ', J

где Лш ..., й 22 — определяемые начальными условиями постоянные комплексные числа.

Токи состоят из трех составляющих: принужденной, соответствующей установившемуся режиму работы дви­ гателя при данной угловой скорости, и двух.свободных

465

составляющих, которые уменьшаются в соответствии с ко­ эффициентами затухания а х и а 2 и изменяются с часто­ тами со! и со2. Время переходного процесса определяется наименьшим коэффициентом затухания. Поэтому электро­ магнитные переходные процессы асинхронного двигателя наиболее длительны при малых скоростях, а при увеличе­ нии скоростей время переходного процесса уменьшается.

На основании найденных зависимостей (9-88) для век­ торов токов в соответствии с формулой для момента из (9-78) можно найти его выражение. Проделав необходи­ мые преобразования, можно представить это выражение в виде

м (t) |ва=const = -Муст + М а1е- 2«<' + м а2е -2“>' +

+ Мт1<?-“‘г sin (сй]£ + ф^ + M?n2e -“*' sin (<в2г+ ф2) +

Установившийся момент асинхронного двигателя опре­ деляется взаимодействием установившихся токов статора и ротора. Апериодические свободные составляющие мо­ мента обусловлены взаимодействием свободных составляю­ щих токов, затухающих с одинаковым коэффициентом затухания. Поскольку эти токи изменяются с одинако­ вой частотой, их векторы неподвижны друг относительно друга, а соответствующая им составляющая момента имеет апериодический характер. Периодические свобод­ ные составляющие момента обусловлены взаимодействием разных по характеру составляющих векторов токов ста­ тора и ротора. К примеру, взаимодействие свободных со­ ставляющих векторов токов, изменяющихся с коэффици­ ентами затухания аг и а 2, приводит к появлению состав­

466

ляющей момента, характеризующейся коэффициентом зату­

т. е. эти векторы не неподвижны друг относительно друга, то соответствующая составляющая момента имеет колеба­ тельный, периодический характер во времени.

Наиболее сильное влияние на переходные процессы оказывают свободные составляющие токов и моментов, затухающие с наименьшим по величине коэффициентом затухания ах. Поэтому его величина может служить мерой влияния электромагнитных переходных процессов. Если а! меньше, переходные процессы затухают медленнее, если а 2 больше, то эти процессы протекают быстрее.

На рис. 9-21, б приведены графики зависимости частот изменения свободных составляющих момента от скорости двигателя. При соэ = О частота их изменения равна ча­ стоте сети, т. е. частоте вращения магнитного поля. Дей­ ствительно, при подключении к сети'неподвижного асин­ хронного двигателя возникают установившиеся и апериоди­ ческие свободные составляющие векторов токов. Частота изменения первых из них равна частоте сети, а вторых — пулю. При их взаимодействии появляется свободная составляющая момента, изменяющаяся с частотой сети. Из графиков на рис. 9-21, б видно, что при произвольной угловой скорости двигателя значение coj относительно

1 I s

близко к частоте сети со0, а со2 — к величине—^ — со0, где

s — скольжение двигателя.

Реальные переходные процессы — пуск, реверс, тормо­ жение и т. д. — сопровождаются изменением скорости дви­ гателя. Однако результаты решения уравнений двига­ теля при соэ = const в ряде случаев можно использовать для качественного анализа влияния различных парамет­ ров двигателя и системы электропривода на электромагнит­ ные переходные процессы, поскольку на небольшом от­ резке времени, когда скорость двигателя изменяется не­ значительно, действительные переходные процессы близки к таковым при условии соэ = const.

Рассмотрим переходные процессы асинхронного дви­ гателя, происходящие при изменении его скорости. На рис. 9-22 приведена статическая механическая характери­ стика этого двигателя (кривая с). Если с ее помощью по­ строить процесс пуска двигателя, то графики изменения скорости и момента во времени будут аналогичны приве­

467

денным на рис. 9-23, а. Однако при указанных расчетах эти графики не учитывают электромагнитных переходных процессов. На рис. 9-23, б приведены типичные действи­ тельные графики изменения момента н скорости двига­ теля, которые могут быть получены экспериментальным путем или при решении уравнений (9-68)—(9-71) и (9-65)

иметь вид кривой д, приведенной на рис. 9-22. Каждая точка последней соответствует определенному моменту времени переходного процесса. Так, например, точка О динамической характеристики соответствует началу переходного процесса, точка А на рпс. 9-22 — времени tA на рис. 9-23, б, точка со0 соответствует времени оконча­ ния переходного процесса на рис. 9-23, б, причем это время теоретически равно бесконечности.

При данном напряжении сети существует единственная статическая механическая характеристика, определяе­ мая параметрами обмоток машины. Динамическая механи­ ческая характеристика определяется не только парамет­ рами обмоток двигателя, но и параметрами системы электро­ привода (момент инерции, статический момент), а также характером переходного процесса (пуск, реверс и т. д.). При изменении последних изменяется характер протека­ ния переходных токов, а следовательно, и переходных моментов, что влечет за собой изменение динамической меха­ нической характеристики. Следовательно, каждый асин­ хронный двигатель при данных напряжении сети и пара­ метрах обмоток имеет одну статическую и бесконечное ко­ личество динамических мехаиическпх характеристик.

Рассматривая начальные участки графиков электромаг­ нитного момента, приведенных на рис. 9-23, а и б, отме­ тим, что максимальное значение переходного момента су­ щественно превышает пусковой момент. Это определяется тем, что максимальные значения переходных токов могут значительно превысить амплитуду пусковых токов дви­ гателя. Поля, образуемые свободными токами, могут уси­ ливать или ослаблять основное поле, создаваемое устано­ вившимися токами, вызывая соответствующее увеличение или уменьшение переходного электромагнитного момента. Иногда значение момента может быть даже отрицатель­ ным (см. рис. 9-23, б). Из кривых на рис. 9-23, б видно, что изменение момента двигателя имеет затухающий коле­

468

бательный характер со значительными амплитудами на начальном участке переходного процесса. ,

Исследования показывают, что переходные процессы, обусловленные подключением двигателя к сети, практиче­ ски полностью затухают до скорости, соответствующей'критическому скольжению статической механической харак­ теристики. На этом этапе переходного процесса динами­ ческие характеристики двигателя близки к статическим. При. дальнейшем увеличении скорости двигателя электро­ магнитные переходные процессы проявляются следующим

ш

Рис. 9-22. Статическая п ди­ Рис. 9-23. Графики момента и намическая механические ха­ угловой скорости асинхронного рактеристики асинхронного двигателя при его пуске вхоло­ двигателя. стую, рассчитанные без учета (а) и полученные с учетом (б) электро­ магнитных переходных процессов.

образом. При скольжении двигателя, меньшем критиче­ ского, токи в обмотках машины, определяемые но статиче­ ской скоростной характеристике, приведенной на рис. 9-24, резко меняются по величине с изменением скорости. Од­ нако вследствие влияния индуктивности обмоток машины токи ротора не успевают измениться в соответствии с ука­ занной характеристикой. Очевидно, чем жестче рабочий участок статической механической характеристики и чем меньше приведенный момент инерции, тем в большей сте­ пени изменение токов будет отставать от изменения ско­ рости. В результате влияния этих факторов при синхрон­ ной скорости в процессе пуска двигателя вхолостую токи могут быть не равны нулю, поэтому соответственно его момент не равен нулю и ротор разгоняется до скорости, превышающей синхронную. Далее токи ротора уменьша­ ются, равно как и момент, развиваемый двигателем, а зна­

469