книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак

У

Плоскость

определяет

множество

точек.и

пря­

мых ей принадлежащих

-

- плоское

поле прямых и

плоокоотѳй. Иногда его

равдѳляют на поле точек

и поле прямых, многообра­

зия

1У

и У двойствен­

ны друг другу по большо­

му

принципу.

. Многообразия

1,П,Ш

-

одномерные:

мнокѳотво

элементов

их

аавиоит

от одного парамѳтра.Мно-

гообразия 1У, У - двумер­

ные. Поэтому взаимно од­

нозначные отображения возможны между двумя многообразиями

l,ïlfl

, а также между любыми двумя многообразиями

1У, У -.

мой,_не пересекающей ось

u

пучка,

высекает

четыре_точки_с_одним_ И

тем же сложным отношени­

ем^

Пусть

четыре

плоско­

сти

<ч

I

ß

*

пучка

о ооью

и

на

двух

прямых

и 1 ! . н

irt

высекают соответственно

ТОЧКИ

rîj

,

& л

,

С*.

,

D±

и

I

ß j

, .

С2

»

В j

. Расомотрим

третью прямую

V

пере­

секающую прямые

іг,

и i / j ,

но не пересекающую ооь и

Пусть точками пересечения ее с нашими плоокоотями

будут

d - I

6

,

С

I

2>

,

(2)

Поскольку

прямые

(У

и . і/4

пересекаются,

они

определяют

одну

плоскость

л 1

, которой

они принадлежат,

эта плоскость

jcd

пѳрѳоѳкаѳтся

о

и

в точке

«S4

п.

(S)

а о плоскостями

<х

,

ß

,

^

,

S

по

прямым

KSfL,

хл*ц=с±,

о е А ^ ^ .

(4)

Эти прямые проходят соответственно черев

точки

в ^ Д А '

4 = S . A A

с ^ А . С ;

^ д д ( 5 )

то есть

образуют

четыре

прямые

одного пучка

плоскооти

л ,

,

выоекаюшиѳ на

прямых

ІГ

И .

t f i

т о ч к и

А

(6.5)

Ô ,

С

,

D

и

ö 4 ,

С„ ,

-Dj.

. В

силу

~

сложные

отношения ѳтих четверок точек равны

(а±ъ£чЪ%)~(йьсъ).

( б)

• Аналогично рассуждая

о прямых

ѵ

u.if. ,

получим t что

(йгЬгСМ

=

(ЙВСП).

(7)

Сравнивая

(6)

о

(7),

подучим

искомое

(8)

Определение. Сложным отнощением_(

_ £ >^§ _ ) _

четырех

~Л

го пучка

равняется

сложному

отношению

четырех прямых,

ко­

торые

получаются

в

пересечении

этих

плоскостей

о про­

извольной

плооко-

отыо

л

Г л а в а

в т о р а я

Рассмотрим сначала соответствие между точками двух

расширенных

прямых и 4

и иг

,

то

есть между двумя

ря­

дами точек. До сих пор

по Понсѳле проективным, соответст-

***

вием мы называли такѳѳ

оо-

S

ответствие,

которое

полу­

чается в

результате

цепоч­

ки

центральных

проекций.

Это определение, как ви-

'дим,

зависит

от

взаимного

\ у

расположения

прямых

u t

u t

и

u t

. Если

Ut

и

«t

\

о

закрепленными

на

них

точками

переместить,

то

оставшееся

соответствие

между прямыми

и±

и

м4

будет

зать, введен вместе

со Штейнерон следующее

определение*

Определение. Проективным соответствием по_сложнрму_

отношению мѳжду_ двумя рящами_точек_ _ил

и_

_

h&bhz

вается^акое_В8аимно_одно8начноѳ_отс)б^

точек, при

которой сохраняется сложное отношение соответствующих

т о ­

чек. Символически будем записывать так

M

) * u , (

) .

а )

д'

tab

(3)

и несобственные

точки"этих~рядов

соответствуют

3) Соответствие

между рядами,

которое получается при

' S

'

центральной проекции

(

перспективное соотве­

тствие).

ô "с " ~*~ ~

Действительно,

возьмем

на прямой

и

произ­

вольно

три точки

А ,

& . . г - & -

,

а на

пря­

мой

и '

произвольно

три точки

й

' ,

ß ' ,

С

и

докажем что

найдетоя

одно и только одно проективное соответствие между

ними,

в

котором точки

ft

к й'

,

ß

я о '

,

С

и

С

будут соответствующими. Если бы такое соответствие

сущест­

вовало, то в силу его определения каждой точке

X

пер­

вой прямой

соответствовала

бы такая

точка

X '

второй

пряной, что

(й&СХ)

=(Й'Ъ'С'Х).

(аьа)

-(А'Ь'С'Х').

(5)

Б

самом деле, если

сложное

отношение ( ft ß С X

) равно m

(Д1ЪСХ)

=

1"

(6)

и

простое отношение

( Л ' ß ' С ' ) равно tS

(8)

то

и

существует

единственная точка

X

'

, которая делит

отрезок

Я 'b'

в данном отношении

X

j= ~ 4 •

Если

Х = £ = - 4 >

(Ю)

то

точке

X

будет

соответствовать

несобственная точка

X '

прямой и '

-, так 'іаж по

определению

но гиперболическим, параболическим, вллиптическим, если

име­

ет две, одну и ни одной двойной точек.

Рассуждая аналогично о двух любых одномерных линейных

проективных многообразиях^ подучим следующие определения

и

теоремы.

котором сохраняется сложное

отношение.

Примером проективного соответствия между двумя пучка­

ми является соответствие между равными пучками,

то есть т а ­

кое соответствие, когда угол

между любыми двумя

прямыми пѳр-

вого пучка равен углу ме­

жду соответствующими пря­

мыми второго

пучка.Такое

соответствие

получаетоя,

если первый пучок парал-

Следствие І.Еоли проективное

соответствие между двумя

плоскими

пучками с

общим центром

S

и общей плоско -

стыо

имеет

три двойные прямые,

то оно тождественное.

дов _(£і

И_ U 2 ПРОХО­

ДЯТ через

одну_точку).

ѵЛА*.Ъ±Ъ.~) Ä и а ( А * Ь * С А . . . ) .

(1)

Прямые

и

в случае перспективного соотве­

тствия, очевидно,

лежат в

одной плоскости. Если_прямыѳ _и_± _

и

Ui_

даны^ то^]ѳрспективноѳ_соотвѳтотвиѳ мѳжду_ ними_

вполне

определяется центром перспективы

S _ : любой точке

М±

ряда

соответствует точка

Мг

пересечения

прямой

и 2

с

прямой

SM±

Мх-ux*SMt.'

(2)

мися прямыми

и±

и иг

определяется

двумя

парами

соотве­

тствующих

(

не

совпадающих) точек

и

,

в 4

и Ь2 ( ^

/31у)

, так как тогда прямые

и ß 4

ß 4

в

пересечении

определяют

центр перспективы

ку^ѳкоторой_прямой

и

( то есть точки пересечения не

совпадающих

соответст­

в и и ^ jipfflcçc лежат на

одной прямой},. Эта пря­

мая _и^адывается осью

перспективы.

Символически

перспек­

тивное соответствие ме­

жду пучками будем обоа-

начать тем же значком

*

S±(aJtCi...)

* 5 / а Д с , . Л

(4)