- •Ориентировочный план занятий
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений. Схема Горнера. Возвратные уравнения.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •Элементы математической логики и теории множеств
- •I. Математическая логика
- •План занятий
- •Задачи для решения 1*, 2*, …, 7*
- •II. Элементы теории множеств
- •Задачи для решения 1*, 2*, 3*, 4*
- •Теория пределов
- •Задачи для решения. Демидович 656, 657,658, *, *, *.
- •*** Дополнение. Формулы, связанные с замечательными пределами
- •І. Замечательные пределы:
- •Непрерывность и дифференцируемость
- •Применения дифференциального исчисления
- •Комплексные числа
- •Задачи для решения. Волковысский 1*, 1, 2*, 2, 3*, 3, 7, 8, 4*.
- •Неопределенный интеграл
- •Экзаменационные задачи по курсу
- •I курс (первый семестр).
- •Экзаменационные вопросы по курсу
- •Первый курс. Первый семестр
- •Контрольная работа № 1.
- •Контрольная работа № 5. Свойства функции на языке -.
- •Контрольная работа № 6.
- •Контрольная работа № 14.
- •Контрольная работа № 19.
Неопределенный интеграл
1.
Задачи для решения. Демидович. 1628, 1635,
1636, 1640,1643, 1646,1648, 1649, 1656, 1658,
1659, 1662, 1663, 1665,1677, 1681, 1682, 1685.
Вычислить неопределенные интегралы:
1628. .1635. .
1636. . 1640. .
1643. . 1646. .
1648.. 1649. .
1656. . 1658. .
1659. . 1662. .
1663. . 1665. . .
1677. . 1681. .
1682. . 1685. .
2.
Задачи для решения. Демидович. 1709, 1715*,
1723, 1727, 1729, 1733, 1737, 1747, 1749, 1768,
1774, 1777, 1792, 1799, 1808, 1811, 1819.
1709. .1715*. . 1723. .
33
1727. .1729. .1733. .
1737. .1747. .1749. .1768. .1774. .1777. .
1792. .1799. .
1808. .1811. .1819. .
3.
Задачи для решения. Демидович. 1837, 1843, 1851, 1853, 1857,
1859, 1864, 1866, 1867, 1869, *, 1872, 1878, 1882, 1892, 1893.
1837. . 1843. .
1851. . 1853. .
1857. . 1859. .
1864. . 1866. .
1867. . 1869. .
*. . 1872. .
1878. . 1882. .
1892. . 1893. .
34
4.
Задачи для решения. Демидович. 1896, 1904,
1914, 1920, 1928,1933*, 1938, 1948, 1952, 1954,
1968, 1971, 1977, 1981, 1987, 1995.
1896. .1904. .
1914. .1920. .
1928. .1933*. .
1938. .1948. .
1952. .1954..
1968. .1971. .
1977. .1981. .
1987. .1995. .
4.
Задачи для решения. Демидович. 2012, 2072, 2076, 2080,
2084, 2098, 2022, 2035, 2167, 2168, 2171, 2172, 2173, 2176.
2012. Вывести формулы понижения для интегралов ии с их помощью вычислить интегралы:
; .
35
2072. . 2076. .2080. .2084. .2098. .
2022. .2035. .2167. .2168. 2171. .
2173. .
2166. .2169. .
2174. ,где .
*** Дополнение 1.
Подстановки Эйлера:
:
;
2) ;
3) (D > 0) .
Подстановки Чебышева (Дифференциальный бином):
:
1) рZ; x = tN (N – общий знаменатель m и n);
2) ; (a + bxn) = tN (N – знаменатель p);
3) ;ax–4 + b = tN (N – знаменатель p).
Тригонометрические подстановки:
1) R(–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx): cosx = t;
2) R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx): sinx = t;
3) R(–sinx, –cosx) = R(sinx, cosx): tgx = t;
36
4) Универсальная тригонометрическая подстановка:
.
Универсальная гиперболическая подстановка:
.
*** Дополнение 2.
Некоторые формулы полезные при интегрировании:
;
;
;
;
5. ,
где 1, 2 – корни уравнения ,
ui = (a – i)sinx +bcosx, ;
6. ;
7..
( | a | | b | ).
37
Экзаменационные задачи по курсу
“математическИЙ анализ”.
I курс (первый семестр).
Э1.
1. Запишите в символах утверждение о том, что последовательность {xn} не является возрастающей, как отрицание того, что последовательность {xn} растет, и в положительном смысле как формулу с тесными отрицаниями, в которой отрицания не относятся к подформулам, составленным с помощью логических связок.
2. Укажите биекцию промежутка [0, 1] на промежуток [-1, 2] и на R+.
3. Докажите, что множество действительных чисел – несчетно.
4. Докажите счетность множества рациональных чисел.
5. Найдите соотношение между нижними и верхними гранями множества и его над(под) множества.
6. Найдите sup(A U B) и inf(A U B).
7. Дайте определение квантора существования и единственности () и выясните его поведение относительно отрицания.
Найти следующие пределы:
8. . 9..
10. .
11. . 12..
13. .
14. . 15...
38
Э2.
1. . 2..
3. . 4..
5. . Найтиa и b.
6. . 7.. 8.;
9. Определить главный член функции y(x) = tg(sinx) – sin(tgx) при x 0.
10. При х 0 определить главный член простейшего вида для функции: у = (1 + х)х – 1.
В следующих задачах найти наибольшее п и константы А, В, С,… такие, чтобы при х → 0 были справедливы формулы:
11. .
12. . 13. .
14. .15. .
Э3.
1. Определить какого порядка производными обладает в точке
х = 0 функция и вычислить в этой точке все соответствующие производные.
39
2. Исследовать на непрерывность функцию
.
3. Исследовать на непрерывность функцию и построить эскиз ее графика.
4. Найти наибольший член последовательности .
5. Изобразите на плоскости (p, q) области, в которых уравнение х3 + рх + q = 0 имеет:
а) один и б) три вещественных корня.
6. Из какого сектора круга радиуса R можно свернуть воронку наибольшей вместимости?
7. Определите число вещественных корней и отделите их для уравнения: 3х4 – 4х3 – 6х2 + 12х – 20 = 0.
8. Найдите расстояние от начала координат до касательной к кривой x = a(cost + tsint), y = a(sint – tcost).
9. В шар радиуса R впишите цилиндр наибольшего объема.
10. Исследовать на экстремум функцию: f(x) = cos100x + ch100x.
11. Определить промежутки монотонности функции:
y = x + | sin2x |.
12. Определить количество вещественных корней уравнения:
x3 + 3x2 + 2x – 12 = 0 и указать промежутки, на которых они находятся.
13. Найти sup и inf функции дляx(0, + ).
14. Найти количество вещественных корней уравнения:
x3 – х + а = 0 при различных значениях параметра а.
15. Найти: y(n), если .
40
Э4.
Найти:
1. , если,y = tgt – t. 2. y(n), если y = e2xsin2x.
3. .
4. .
5. y(n), если y = cos3x. 6. y(n), если (2x – 1)23x32x.
7. . 8.y(n), если y = sin2axcos2bx.
9. , еслиy = sinxsin2xsin3x.
10. .
11. , еслиy = xsinxcos2x.
12. (sin4x + cos4x)(n). 13. y(101)(1), если y = (x2 – x)cos3x.
14. , если x2 + 2xy – y2 = 2x.
15. y(20), если y = x2e2x.
Э5.
1. .
2. , если y = (tg2x)sinx. 3. .
4. Для функциинайдитеидляxR.
5. Показать, что уравнение ctgx = kx xR имеет в интервале x(0, ) единственный непрерывный корень x = x(k).
Докажите неравенства и равенства:
6. .
41
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. Покажите, что у многочлена Лежандра все корни вещественны и заключены в интервале (–1, 1).
13. Доказать, что если все корни многочлена Pn(x) с вещественными коэффициентами вещественны, то и Pn(x) имеет только вещественные корни.
Построить графики функций:
14. . 15..
Э6.
Найти разложение указанной функции по формуле Тейлора в окрестности указанной точки до указанной степени включительно:
1. ,x0 = 0 до х4. 2. y = arctgx, x0 = 0 (весь ряд).
3. y = ln(1 + x + x2 + x3), x0 = 0 до x5.
4. ,x0 = 0 до x2n+1.
42
5. y = tgx, x0 = 0 до x5 6. y = (x2 – 1)1990, х0 =1 до (х – 1)1990.
7. ,х0 = 0 Получить два члена разложения.
8. При х найти три члена асимптотики функции
.
9. Напишите полином Тейлора функции ех в нуле, который, позволил бы вычислить значение ех на отрезке [–1, 2] с точностью до 10–3.
Оцените абсолютные погрешности формул:
10. ; |x | 1.
11. ; |x | > 102. 12. ; |x | > 103.
Вычислить указанные значения с заданной точностью:
13. ; = 10–6. 14. ; = 10–6 15. е; = 10–6.
.
Э7.
1. ln2 ; = 10–6. 2. arcsin0,56; = 10–5.
3. ; = 10–4 4. ; = 10–5.
5. Найдите сумму: 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + … + nxn–1.
6. Найти остаток от деления многочлена z1989 – 1 на z2 + 1.
7. Решить систему уравнений: .
8. Определите, при каких действительных значениях x и y сопряжены следующие комплексные числа: z1 = y2 – 7y – 9xi и z2 = – 12 + 20i + x2i.
9. Найдите формулу для суммы: sinx + 2sin2x + … + nsinnx.
10. Выразить sin5 через тригонометрические функции кратных углов, а sin5 через степени sin и cos .
43
11. Найти множество точек комплексной плоскости, заданное условием:
| z – 2 |2 + | z + 2 |2 = 26.
12. Найти все значения: а) 1; б) ii.
13. Найти множество точек комплексной плоскости, заданное условием:
14. Решите систему уравнений: | z + 1 – i | = | 3 + 2i – z | = | z + i |.
15. Решить уравнение:
Э8.
1. Найти все значения:.
2. Разложить на неприводимые множители с вещественными коэффициентами, многочлен z2n + 1 – 1.
3. Решите уравнение: z6 – z3 – 2 = 0.
4. Разложить x2n + 1 на неприводимые множители с вещественными коэффициентами.
5. Уравнение 3x4 – 5x3 + 3x2 + 4x – 2 = 0 имеет корень 1 + i. Найдите остальные корни.
6. Разложить x2n – 1 на неприводимые множители с вещественными коэффициентами.
7. Какую кривую в комплексной плоскости описывает точка: z = at + beit, если tR, a, b, – вещественны.
8. Решить уравнение: z10 – z5 – 992 = 0.
9. Решить уравнение: (z – i)z(z + i)(z + 2i) = 24.
10. Решить уравнение: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.
11. Решить уравнение: z4 – 30z2 + 289 = 0.
12. Найти множество точек, удовлетворяющих условиям:
.
13. Нарисуйте множество точек, удовлетворяющих условию:
.
44
14. Какую кривую в плоскости z описывает точка
z = (a + it)eit, tR (а – вещественно).
15. Нарисуйте множество точек, удовлетворяющих условию:
| Re{z(cos2 + isin2)}| + | Im{z(cos2 + isin2)}| 1.
Э9.
Вычислить неопределенные интегралы:
1. . 2..
3. , 4..
5. . 6..
7. ,.
8. . 9..
10. . 11..
12. . 13..
14. . 15..
Э10.
1. . 2..
45
3. . 4..
5. , 6..
7. ,. 8..
9. . 10..
11. . 12..
13.. 14.. 15..
Э11.
1. . 2.. 3..
4. . 5..
6. . 7..
8. . 9..
10. . 11..
46
12. Выразите через интегральный логарифм Li(x) и элементарные функции, интегралы:
а) ; б).
13. Выразите через интегральный синус Si(x) и элементарные функции, интегралы:
а) ; б).
14. Выразите через интеграл ошибок erf(x) и элементарные функции, интегралы:
а) , б).
15. Исключите интегрирование неэлементарных функций:
а); б); в).