4сем / 7_ДЗ_4_сем_pdf / ТВ / ТВ_ДЗ_1

ЗАДАЧА

ОТВЕТ

1.1. Классическое определение вероятности

1.

Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что

3

Г7

хотя бы один раз появится “герб”.

4

2.

В коробке шесть одинаковых, занумерованных куби-

P =

1

Г8

ков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти

720

вероятность того, что номера извлеченных кубиков

появятся в возрастающем порядке.

3.

В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101,

P =

1

=

1

Г10

102, …, 120 и произвольно расположенных. Перфора-

C202

190

торщица наудачу извлекает две карты. Найти вероят-

ность того, что извлечены перфокарты с номерами 101

и 120.

4.

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окра-

C103

24

Г12

шенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Най-

P = C153

91

ти вероятность того, что извлеченные детали окажутся

окрашенными.

5.

В конверте среди 100 фотокарточек находится одна

P =

C999

0,1

Г13

разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10

C10

карточек. Найти вероятность того, что среди них ока-

100

жется нужная.

6.

В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу

а)P =

C904

0,65

Г14

извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что

C1004

среди извлеченных деталей:

б)P =

C104

0,00005

а) нет бракованных;

C1004

б) нет годных.

7.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние

P =

1

=

1

3

Г16

три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны,

A10

720

набрал их наудачу. Найти вероятность того, что на-

браны нужные цифры.

8.

В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины.

P =

C43C64

= 0,5

Г18

По табельным номерам наудачу отобраны семь чело-

C107

век. Найти вероятность того, что среди отобранных

лиц окажется три женщины.

9.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников.

P =

C85C44

=

14

Г20

По списку наудачу отобраны 10 студентов. Найти ве-

C129

55

роятность того, что среди отобранных студентов пять

отличников.

10.

На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l

P =

1

Г26

длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу

2

поставленная на больший отрезок, попадет также и на

меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попада-

ния точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не

зависит от его расположения.

11.

В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r . Найти

P =

r2

Г28

вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой

R2

круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что ве-

роятность попадания точки в круг пропорциональна площа-

ди круга и не зависит от его расположения.

12.

На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, от-

P =

2

Г31

стоящими друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен

3

круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пе-

ресечет ни одной из прямых. Предполагается, что вероят-

ность попадания точки на отрезок пропорциональна длине

отрезка и не зависит от его расположения.

13.

На плоскости начерчены две концентрические окружности,

P = 0,75

Г32

радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероят-

ность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг,

попадет также и в кольцо, образованное построенными ок-

ружностями. Предполагается, что вероятность попадания

точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой

фигуры и не зависит от ее расположения.

14.

На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу постав-

P = 0,75

Г38

лены две точки: B(x) и C(y). Найти вероятность того, что

длина отрезка BC окажется меньше, чем

L

. Предполагает-

2

ся, что вероятность попадания точки на отрезок пропорцио-

нальна длине отрезка и не зависит от его расположения на

числовой оси.

15.

Задача Бюффона (французский естествоиспытатель XVIII

2l

Г39

в.). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, от-

πa

стоящими друг от друга на расстоянии 2a . На плоскость

наудачу бросают иглу длины 2l (l < a). Найти вероятность

того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

16.

Задача о встрече. Два студента условились встретиться в

7

Г42

определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший

16

первым ждет второго в течение 1 часа, после чего уходит.

4

Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый

студент наудачу выбирает момент своего прихода (в проме-

17.

В ящике 10 деталей, из которых

P =1−

C63

=

5

Г47

4 окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти

C103

6

вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей ок-

рашена.

18.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания

P = 0.38 .

Г51

в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна

0,7 , а для второго она равна 0,8. Найти вероятность того,

что при одном залпе в мишень попадет только один из

стрелков.

19.

Вероятность того, что при одном измерении некоторой

P = 0,432

Г54

физической величины будет допущена ошибка, превы-

шающая заданную точность, равна 0,4 . Произведены три

независимых измерения. Найти вероятность того, что

только в одном из них допущенная ошибка превысит за-

данную точность.

20.

Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти ве-

57

Г69

роятность того, что студент знает предложенные ему эк-

115

заменатором три вопроса.

1.3. Вероятность появления хотя бы одного события

21.

Для разрушения моста достаточно попадания одной

P 0,5

Г82

авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост

будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, ве-

роятности попадания которых соответственно равны 0,3;

0,4 ; 0,6 ; 0,7 .

22.

Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрел-

P 0,76

Г85

ков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем ка-

ждый должен сделать по два выстрела. Попавший пер-

вым в мишень получит приз. Найти вероятность того, что

стрелки получат приз.

1.4. Формула полной вероятности

23.

В вычислительной лаборатории имеются шесть клавиш-

P = 0,89

Г91

ных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того,

что за время выполнения некоторого расчета автомат не

выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта веро-

ятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу

выбранной машине. Найти вероятность того, что до

окончания расчета машина не выйдет из строя.

24.

В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во

P = 0,5

Г94

второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны

наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух

шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того,

что взят белый шар.

25.

В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых ша-

P = 0, 4

Г95

ра. Из первой урны наудачу

извлечен один шар и пере-

ложен во вторую урну, после чего из второй урны науда-

чу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти

вероятность того, что шар, наугад извлеченный из треть-

ей урны, окажется белым.

1.5. Формула Байеса

26.

В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптиче-

23

19

,

Г98

ским прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит

>

43

43

мишень при выстреле из винтовки с оптическим прице-

с

оптиче-

лом, равна 0.95 ; для винтовки без оптического прицела

ским

при-

эта вероятность равна 0.8 . Стрелок поразил мишень из

целом

наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял

из винтовки с оптическим прицелом или без него?

27.

Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на кото-

P =

3

Г99

ром стоит бензоколонка, относится к числу легковых ма-

7

шин, проезжающих по тому же шоссе как 3: 2. Вероят-

ность того, что будет заправляться грузовая машина, рав-

на 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2 .

К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти

вероятность того, что это грузовая машина.

28.

Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по

P =

1

Г100

одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того,

3

что первая перфораторщица допустит ошибку, равна

0,05 ; для второй перфораторщицы эта вероятность равна

0,1. При сверке перфокарт

была обнаружена ошибка.

Найти вероятность того, что ошиблась первая перфора-

торщица. (Предполагается, что оба перфоратора были ис-

правны).

29.

Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили

P =

10

Г107

мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок по-

19

разил мишень, если вероятности попадания в мишень

первым, вторым и третьим стрелками соответственно

равны 0,6 ; 0,5 и 0,4 .

1.6. Формула Бернулли

30.

Два равносильных противника играют в шахматы. Что

P2 (1)=

1

>

Г111

вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две пар-

2

тии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из че-

P4 (2)=

3

тырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во вни-

8

мание не принимаются.

31.

Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что

Г112

“герб” выпадет:

а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Г113 менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если

P4 (3)+ P4 (4)=

вероятность появления события А в одном испытании

= 0,1792

равна 0,4;

б)

б) событие В появится в случае, если событие А не менее

P5 (4)+P5 (5)=

четырех раз. Найти вероятность наступления события В,

= 0,74

если будет произведено пять независимых испытаний, в

каждом из которых вероятность появления события А

равна 0,8.

Г115 этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков;

б) 0, 48 ;

в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех

в) 0,52 ;

мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять

г) 0, 62

равной 0,51.

Г121

равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах

=

0,04565

мишень будет поражена ровно 75 раз.

35.

Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти веро-

P100 (50)=

Г122

ятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50

=

0,0782

мальчиков.

Г123

того, что “герб” выпадет ровно N раз.

= 0,5642

N

37.

Вероятность появления события в

а) 0,8882 ;

Г125

каждом из 100 независимых испытаний постоянна и рав-

б) 0,8944 ;

на 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а)

в) 0,1056

не менее 75 раз и не более 90 раз;

б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

40.

Найти наивероятнейшее число правильно набитых пер-

17

Г148

фораторщицей перфокарт среди 19 перфокарт, если веро-

ятность того, что перфокарта набита неверно, равна 0,1.

41.

Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероят-

7

Г151

ность попадания в мишень при одном выстреле для пер-

вого стрелка равна0,8, а для второго – 0,6. Найти наиве-

роятнейшее число залпов , при которых оба стрелка по-

падут в мишень, если будет произведено 15 залпов.

42.

Вероятность появления события в

28 ≤ n ≤ 29

Г154

каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти чис-

ло испытаний n, при котором наивероятнейшее число по-

явлений события равно 20.

43.

Чему равна вероятность р наступления события в каждом

0,625 < p ≤0,65

Г156

из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее

число наступлений события в этих испытаниях равно 25?