4сем / 7_ДЗ_4_сем_pdf / ТВ / ТВ_ДЗ_3
.pdf
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ДЗ 3. Закон больших чисел.
Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины и их числовые характеристики (ДДСВ и ДНСВ). Функции случайных величин и случайных векторов.
|
Задача |
Ответ |
1.Закон больших чисел
1Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. 0,88 Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется меньше двух.
3Каково распределение для СВ X - длины березового листа среди сорванных?
4Вероятность события А при каждом испытании равна 0,7. Сколь274 ко раз достаточно повторить испытание, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что частота появления события А будет отклоняться от вероятности не больше чем на 0,05?
1
2. Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины и их числовые характеристики (ДДСВ и ДНСВ)
№ |
|
|
|
ЗАДАНИЕ |
|
|
||
1 |
ДДСВ (X ,Y ) задана таблицей: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
0,16 |
0,12 |
|
0,08 |
|
|
|
|
2 |
0,28 |
0,11 |
|
0,25 |
|
|
Найдите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
безусловные законы распределения случайных величин X и Y ; |
||||||
|
2) |
функцию распределения системы СВ (X ,Y ); |
||||||
|
3) |
условные законы распределения X |
при разных значениях Y , чтобы уста- |
|||||
|
новить, зависимы или нет компоненты X и Y ; |
|
|
|||||
|
4) |
математические ожидания, дисперсии и среднеквадратические отклоне- |
||||||
|
ния; |
|
|
|
|
|
||
|
5) |
корреляционный момент (ковариацию); |
|
|
||||
|
6) |
коэффициент корреляции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ОТВЕТ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) |
|
|
Х |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
0,36 |
|
0,64 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
0,44 |
|
0,23 |
|
0,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
F (x, y) : |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y ≤1 |
|
1 < y ≤ 2 |
|
2 < y ≤ 3 |
3 < y |
|
||
|
|
|
|
|
x ≤1 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 < x ≤ 2 |
0 |
|
0,16 |
|
|
0,28 |
0,36 |
|
|||
|
|
|
|
|
2 < x |
0 |
|
0,44 |
|
|
0,67 |
1 |
|
|||
|
3) |
X и Y зависимы, так как, например, |
|
|
|
|
||||||||||
|
P{X =1,Y =1} = 0,16 ≠ P{X =1} P{Y =1} = 0,36 0,44 |
|
|
|||||||||||||
|
4) |
M (X ) =1,64 , M (Y ) =1,89 , D (X ) = 0, 2304 , D (Y ) = 0,7579 , |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
σ (X ) = 0, 48 , σ (Y ) = 0,87 .
5)KXY = 0,0404 .
6)rXY = 0,096 .
2 |
Случайная величина (X ,Y ) |
распределена в области D по закону |
||||
|
a y(y −xy), |
(x,y) D, |
||||
|
f (x,y) = |
|
0, (x,y) D, |
|||
|
|
[ |
||||
|
где D : x |
] |
[ |
|
] |
|
|
|
0;1 , y |
|
0;1 . |
||
Найдите:
1)параметр распределения a ;
2)плотности распределения каждой составляющей системы;
3)частные функции распределения СВ X и Y ;
4)вероятность попадания случайной точки (X ,Y )в область
D1 : x [0,7;3], y [0;0,3];
5) интегральную (совместную) функцию распределения F (x,y) системы СВ
(X ,Y );
6) математические ожидания и дисперсии компонент;
4
7)корреляционный момент (ковариацию);
8)коэффициент корреляции.
ОТВЕТ: 1) a =4.
|
|
( |
|
) |
, x |
[ ] |
|
|
|
|
|
[ ] |
|||
|
2 1− x |
|
0,1 , |
|
2 y, y |
|
0,1 , |
||||||||
2) |
fX (x) = |
|
0, x |
[ |
0,1 . |
fY (y) |
= |
0, y |
|
[ |
0,1 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
] |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x ≤ 0, |
|
|
|
0, y ≤ 0, |
||||||||
3) |
FX (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − x2 ,0 < x ≤1, |
FY (y) = y2 , 0 < y ≤1, |
||||||||||||||
|
|
|
1,1 < x. |
|
|
|
1,1 < y. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) |
0,0081. |
|
|
|
|
|
|
x < 0, y < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0, |
x < 0, y > 0, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x > 0, y < 0, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
F (x, y) = |
|
xy2 (2 − x), (x, y) D, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
y2 , y [0,1], x >1, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(2 − x), 0 [0,1], y >1, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1, |
x >1, y >1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5
6) M (X ) = 0,33 , M (Y ) = 0,66 , D (X ) = 0,055 , D (Y ) = 0,055 .
5)KXY = 0 .
6)rXY = 0 .
3.Функции случайных величин и случайных векторов
№ |
|
|
|
Задание |
|
|
|||
1 |
ДСВ Х задана рядом распределения: |
|
|
|
|||||
|
|
X |
-1 |
|
|
-2 |
1 |
2 |
|
|
Найдите ряд распределения |
p |
0,3 |
|
0,1 |
0,2 |
0,4 |
|
|
|
СВ Y=X2. |
|
|
|
|||||
|
ОТВЕТ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
0,5 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
ДСВ Х задана рядом распределения: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||
|
|
|
|
X |
π |
|
π |
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найдите ряд распределения |
p |
0,2 |
|
0,7 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
CВ Y=sin X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ОТВЕТ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
0,3 |
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
НСВ Х равномерно распределения в интервале |
− |
π |
, |
π |
|
. Найдите плотность |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
распределения |
f (y) СВ Y=sin X и проверьте правильность решения зада- |
||||||||||||||||||||
|
чи. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТ: f (y) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π 1− y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
4
5
НСВ Х нормально распределена с плотностью f (x) = |
1 |
e− |
x2 |
||
|
, −∞ < x < ∞. |
||||
2 |
|||||
2π |
|||||
|
|
|
|
||
Найдите плотность распределения f (y) СВ Y=X2 и проверьте правильность решения задачи.
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ОТВЕТ: |
f (y) |
|
e 2 ,0 < y < ∞, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2π y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0, y ≤ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Независимые ДСВ Х и Y заданы |
|
|
|
|
|
|
|
распределениями: |
|||||||||||
Y |
0 |
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
X |
|
0 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
||||||||
|
p |
|
0,25 |
|
0,5 |
|
0,25 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдите закон распределения СВ Z=X+Y. Сделайте проверку. ОТВЕТ:
Z 0 2 4 6
8
|
|
p |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
12 |
|
3 |
12 |
|
6 |
|
|
|||||
6 Независимые ДСВ Х и Y плотностями распределений:
f1 (x) = e−x , 0 ≤ x < ∞, f2 (y) = 12 e−2y , 0 ≤ y < ∞.
Найдите плотность распределения СВ Z=X+Y. Сделайте проверку.
− |
z |
|
− |
z |
|
,0 |
≤ z . |
|
|
||||||
ОТВЕТ: g (z) = e 2 |
1 |
−e 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9