4сем / 7_ДЗ_4_сем_pdf / ТВ / ТВ_ДЗ_2

ЗАДАЧА

ОТВЕТ

а)

X

1

2

3

…

k

…

p

0,2

0,16

0,12

…

0,8k−10, 2

…

8

б) k0 =1

2.

Станок - автомат штампует детали. Вероятность того, что

P200 (4) =

Г178

изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01.

= 0,09

Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется

ровно 4 бракованных.

1.2. Числовые характеристики ДСВ

3.

Дискретная случайная величина X

принимает три воз-

x3 = 21,

Г191

можных значения: x1 = 4 с вероятностью p1 = 0,5 ; x2 = 6 с

p = 0,2

вероятностью p2 = 0,3 и x3 с вероятностью p3 . Найти x3 и

3

p3 , зная, что M (X )= 8.

4

Дан перечень возможных значений дискретной случайной

p1 = 0,2,

Г193

величины X :

x1 =1, x2 = 2 , x3 = 3,

а также известны ма-

p = 0,3,

тематические

ожидания этой величины и ее

квадрата:

2

p = 0,5

M (X )= 2,3,

M (X 2 ) = 5,9 . Найти вероятности,

соответст-

3

7.

Случайные величины

X и Y независимы. Найти диспер-

D(Z )= 61

Г209

сию случайной величины Z = 2X + 3Y , если известно, что

D

(

X

)

(

)

=5.

= 4 , D Y

8.

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дис-

Г211

кретной случайной величины X , заданной законом распреде-

ления:

а)

X

4,3

5,1

10,6

p

0,2

0,3

0,5

б)

X

131

140

160

180

p

0,05

0,10

0,25

0,60

а)

D[X ]

8,545 ,σ[X ] 2,923 ;

б) D(X ) 248,95 , σ(X ) 15,78

9.

Найти

дисперсию

дискретной случайной

величины X -

D(X )= 0,9

Г214

числа отказов элемента некоторого устройства в десяти

независимых опытах, если вероятность отказа элемента в

каждом опыте равна 0,9 .

10.

Найти

дисперсию

дискретной случайной

величины X -

D(X )= 0, 495

Г216

числа появлений события A в двух независимых испыта-

ниях, если вероятности появления события в этих испыта-

ниях одинаковы и известно, что M (X )= 0,9 .

11.

Дискретная случайная величина задана законом распределе

-

Г261

ния

X

3

4

7

10

p

0,2

0,1

0,4

0,3

Найти

функцию

распределения и построить ее график.

0

при x ≤3,

0,2 при3 < x ≤4,

F (х)= 0,3 при4 < x ≤7,

0,7 при7 < x ≤10,

при>10.

1

2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1. Функция распределения вероятностей случайной величины

12.

Случайная величина

X

задана

функцией распределения

Г254

0 при x ≤−2,

1

1

x

F (x)=

+

arcsin

при−2 < x ≤2, Найти вероятность то-

2

π

2

1 при x > 2.

го,

что в результате испытания величина X примет значение,

(

)

заключенное в интервале −1,1 .

P −1< X <1 =

1 .

(

)

3

13.

Функция распределения непрерывной случайной величины X

Г255

(времени безотказной работы некоторого устройства) равна

F (x) =1−e−

x

(x ≥0). Найти вероятность безотказной работы

T

устройства за время x ≥T .

P(X ≥T )=1−P(X <T )=1−P(0 < X <T )= 1e .

14.

Случайная

величина

X

задана функцией

распределения

Г257

0 при x ≤0,

2

при0 < x ≤1,

F (x)= x

1 при x >1.

Найти вероятность того, что в результате четырех независи-

мых испытаний величина X ровно три раза примет значение,

принадлежащее интервалу

(

)

0,25; 0,75 .

P

(

)

= 0,5

0,25 < X < 0,75

2.2. Плотность распределения вероятностей случайной величины

15.

Плотность распределения непрерывной случайной величины

Г266

π

π

2

2

X в интервале −

,

равна f (x)=

cos

x ; вне этого ин-

2

2

π

тервала

f (x)= 0 . Найти вероятность того,

что в трех незави-

симых испытаниях

X

примет ровно два раза значение, за-

π

ключенное в интервале 0,

.

4

π

π+ 2

2

2

3π−2

P 0 < X <

,

π+ 2

=

Р3 (2)= C3

4π

4π

4

4π

16.

Задана плотность распределения непрерывной случайной ве-

Г269

личины X :

0

при x ≤1,

1

при1< x ≤2,

f (x)= x −

2

при x > 2.

0

Найти функцию распределения F(x).

0

при x ≤1,

1

2

(x

−x)при1< x ≤2,

F (х)=

2

при x > 2.

1

17.

Плотность распределения непрерывной случайной величины

С =

1

Г272

X задана на всей оси

Ox

f (x)=

2C

2π

равенством

. Найти

1+ x2

постоянный параметр С.

2.3.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

18.

Случайная

величина X

задана плотностью распределения

M (X )= 34

Г276

f (x)= 12 x

в интервале (0, 2); вне этого интервала f (x)= 0 .

Найти математическое ожидание величины X .

19.

Случайная величина X , возможные значения которой неот-

M (X )=

1

Г281

рицательны, задана

(

)

=1−e−αx

(

)

α

функцией распределения F

x

α> 0

. Найти

Г287

f (x)= −

3 x2

+ 6x −

45

; вне этого интервала

распределения

4

4

Г288

1

распределения

f (x)=

; вне этого

интервала

(π 1−x2 )

f (x)= 0 . Найти а) моду; б) медиану X .

а) Моды X не имеет (плотность распределения

не имеет максимума); б)

M (X )= 0 (кривая распределения

симметрична относительно прямой x = 0 ).

22.

Случайная величина X в интервале (0, 5) задана плотностью

D(X )=

25

Г296

2

18

распределения

f (x)=

x ; вне этого интервала

f (x) = 0 .

25

Найти дисперсию X .

Г309

казания прибора округляют до ближайшего целого деления.

Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошиб-

ка:

Г314

(

)

распределенной равномерно в интервале

2, 8 .

Г317

плотностью распределения

f (x)=

1

в интервале

2l

(a −l, a + l); вне этого интервала

f (x)= 0 . Найти математи-

2.5. Нормальное распределение

26.

Математическое ожидание нормально распределенной слу-

Г322

чайной величины X равно a = 3 и среднее квадратичное от-

клонение σ= 2 . Написать плотность вероятности X .

1

− (

x−3 2

f (x)=

8 )

e

.

2

2π

Г324

1

−

(x−1)2

D(X )= 25 .

плотностью

f (x)=

e

50

. Найти математическое ожи-

5 2π

дание и дисперсию X .

28.

Математическое ожидание и среднее квадратичное отклоне-

Г329

ние нормально распределенной случайной величины X соот-

ветственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в ре-

зультате испытания X

примет значение, заключенное в ин-

(

)

тервале 15, 25 .