КВАНТЫ билеты / 6. Изменение представления
.pdf
Изменение представления
Выбор конкретного эрмитова оператора ˆ с целью использования его
L
собственных векторов в качестве базиса не является единственно возможным. При этом необходимо помнить, что соответствующие векторам или операторам матрицы (функции), записанные в разных базисах, имеют отличный друг от друга вид. Поэтому возникает закономерный вопрос о том, как связаны между собой представители одного и того же математического объекта, записанные в разных представлениях.
Наиболее просто рассматривается этот вопрос, если обратится к случаю дискретных базисов. Предположим, что имеется два ортонормированных
базиса. Один из них назовем «старым» и обозначим как l j 
, j = 1, 2, …, n;
другой – «новым» ti 
, i = 1, 2, …, n.
Переход от базиса ti 
к базису l j 
осуществляется путем задания
матрицы преобразования S с элементами Sij, которые представляют собой компоненты каждого вектора l j 
«старого» базиса, разложенного по
векторам ti 
«нового» базиса:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
l j |
= S1j |
|
t1 |
+…+ Snj |
tn |
= Sij |
ti . |
(1.36) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
Здесь элементы матрицы преобразования равны |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sij ti |
l j . |
|
|
|
|
|
(1.37) |
|||||
Этот результат |
легко проверить. Подействуем |
единичным |
оператором, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ˆ |
|
ti |
ti |
, на кет-вектор |
l j : |
|
|
|
||||||||||||
записанным в виде I |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
l j |
ˆ |
l j |
|
|
= |
ti |
ti |
l j |
= ti |
l j |
ti . |
|
||||||||
|
|
= I |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||
Матрица с элементами |
(S ) |
ij |
является эрмитово сопряженной матрице S |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и осуществляет |
|
переход |
|
от |
|
«старого» |
l-представления |
к «новому» |
||||||||||||||
t-представлению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t j |
|
= (S )ij |
li . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти матрицу с элементами (S )ij необходимо к матрице с элементами Sij последовательно применить операции транспонирования
(замена строк столбцами с сохранением их номеров) и комплексного сопряжения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(S ) |
ij |
(S |
ji |
)* t |
j |
|
|
l * |
l |
|
t |
j |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Отметим, что матрица S является унитарной матрицей, поскольку |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(S )ik Skj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
li |
l j |
ij , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 1 |
|
ˆ |
и в соответствии с (1.13) для ее оператора выполняются равенства: S |
= S |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и SS |
|
= S |
S = |
I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Любой кет-вектор |
|
g |
можно записать как через набор координат g j в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
базисе |
|
l j |
, так и через координаты gi |
относительно базиса |
|
ti |
: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g = g j |
l j |
= gi |
ti . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рассмотрим сейчас каким образом можно найти компоненты gi |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ti |
g |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кет-вектора |
|
g |
в |
«новом» |
базисе |
|
|
|
|
ti |
, если |
известны |
его |
компоненты |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g j l j |
|
g |
|
в «старом» |
базисе |
|
l j |
. Для этого в |
|
|
gi ti |
|
g |
вставим между |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторами |
ti |
|
и |
|
g |
|
единичный |
оператор |
|
ˆ |
|
l j |
|
l j |
. В результате |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
I |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приходим к следующему унитарному преобразованию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gi ti |
g |
|
ti |
|
ˆ |
g |
ti |
l j |
l j |
|
g |
|
|
Sij g j . |
|
|
|
(1.38) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
Sij |
g j |
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для определения компонент gi |
li |
|
g |
|
|
в |
«старом» базисе |
|
|
li |
через |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
компоненты g j t j |
|
g |
в «новом» базисе |
|
t j |
используется формула |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gi |
|
li |
g |
li |
t j |
|
|
|
|
t j |
|
g |
(S )ij g j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.39) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 (S )ij |
g /j |
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теперь |
|
|
остановимся |
|
на |
|
|
преобразовании |
|
элементов |
|
матрицы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
при переходе от одного базиса к другому. Начнем с матричных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оператора G |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элементов G |
|
t |
|
ˆ |
|
t |
|
|
, записанных в «новом» базисе |
|
|
t |
|
. Вставим между |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G |
|
j |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ij |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||||
вектором |
|
ti |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
единичный оператор, записанный в виде |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
оператором G |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
суммы |
операторов |
проектирования |
на |
|
|
кет-векторы |
|
|
|
|
lm , |
|
и |
между |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператором |
|
|
ˆ |
и |
вектором |
|
t j |
|
вставим |
|
ˆ |
|
|
|
lk |
lk |
|
. |
В |
итоге |
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
G |
|
|
|
I |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
унитарное преобразование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
G |
t |
|
ˆ |
|
t |
|
|
t |
|
ˆ ˆ |
ˆ |
|
t |
|
|
|
t |
|
l |
|
l |
|
ˆ |
|
l |
|
|
l |
|
t |
|
|
|
|
|
S |
|
G |
(S |
|
) |
|
. (1.40) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
G |
|
j |
|
IGI |
|
j |
|
|
|
|
G |
|
k |
|
|
j |
|
|
kj |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ij |
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
im mk |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично получают унитарное преобразование, осуществляющее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переход от матрицы G к матрице G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
l |
ˆ |
|
l |
|
|
|
|
(S |
|
) |
|
G |
|
S |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.41) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
j |
|
im |
|
kj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|