КВАНТЫ билеты / 13. Зависимость физических величин от времени
.pdf
Зависимость физических величин от времени
Представленная в п. 3.1 шредингеровская картина описания эволюции квантовой системы не является единственной. Существует альтернативный способ рассмотрения временной эволюции, который называется картиной Гейзенберга. При этом подходе зависимость от времени переносится с
векторов состояний на динамические переменные L, а значит, операторы ˆ
L(t)
и их собственные векторы |
l(t) |
|
|
будут явно зависеть от времени t. В |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
гейзенберговской картине образующие базис |
собственные векторы |
l(t) |
|||||||||||
ˆ |
|
|
с течением времени t в пространстве |
||||||||||
оператора L(t) поворачиваются |
|||||||||||||
состояний, а вектор состояния |
|
g |
|
g(t0 ) физической системы остается без |
|||||||||
|
|
||||||||||||
изменения, описывая состояние системы во все моменты времени. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
g(t0 ) можно получить из |
|||||||
В силу (3.1), неподвижный |
|
кет-вектор |
|
||||||||||
зависящего от времени кет-вектора |
|
g(t) путем преобразования |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
g(t0 ) |
|
ˆ |
1 |
(t,t0 ) |
|
g(t) . |
(3.10) |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
|||||||
Унитарному преобразованию можно подвергнуть и операторы.
|
|
ˆ |
ˆ |
Найдем вид преобразования от операторов L к операторам L(t) . Для |
|||
этого вспомним |
правило (3.7), согласно которому |
на изменяющийся во |
|
времени вектор |
|
|
ˆ |
|
|
||
|
g(t) действует независящий явно от времени оператор L |
||
ˆ
f (t) L g(t) .
Преобразуем это выражение, подействовав на него унитарным оператором
ˆ |
1 |
(t,t0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 1 |
(t,t0 ) |
|
f (t) |
ˆ |
1 |
|
|
ˆ |
|
g(t) . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
U |
|
U |
(t,t0 )L |
|
||||||||||||||||
|
|
Если вставить между оператором |
ˆ |
|
|
и кет-вектором |
|
g(t) единичный |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператор I , записанный в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
1 |
(t,t0 ) , |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
U (t,t0 )U |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то придем к соотношению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ˆ 1 |
(t,t0 ) |
|
f (t) |
|
|
|
ˆ 1 |
|
ˆ ˆ |
|
|
ˆ 1 |
(t,t0 ) |
|
g(t) . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
U |
|
U |
(t,t0 )LU (t,t0 )U |
|
|||||||||||||||||
Принимая во внимание (3.10), получим преобразование
|
|
|
|
|
f (t0 ) |
|
ˆ |
|
g(t0 ) |
, |
|
|
(3.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
L(t) |
|
|
|
|||||||
определяющее действие зависящего от времени |
оператора |
ˆ |
на |
||||||||||||
L(t) |
|||||||||||||||
фиксированный вектор |
|
g(t0 ) |
. Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ˆ |
ˆ 1 |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
(3.12) |
|||
|
|
|
L(t) U |
|
(t,t0 )LU (t,t0 ) , |
|
|
||||||||
унитарное преобразование, позволяющее найти оператор |
ˆ |
который |
|||||||||||||
L(t) , |
|||||||||||||||
сопоставляется |
физической |
величине |
|
L |
в |
картине |
Гейзенберга, когда |
||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
известен оператор L из картины Шредингера. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Операторы |
ˆ |
|
эволюционируют |
во |
времени |
в |
соответствие |
с |
|||||||
L(t) |
|
||||||||||||||
уравнением движения, вид которого сейчас найдем. Для этого перепишем унитарное преобоазование (3.12) следующим образом
ˆ ˆ ˆ ˆ
U (t,t0 )L(t) LU (t,t0 ) .
Продифференцируем обе части этого равенства по времени
ˆ |
ˆ |
U (t,t0 ) ˆ |
t L(t) U (t,t0 )
После этого воспользуемся уравнением
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
dL(t) |
U (t,t0 ) |
|
||
|
L |
|
. |
|
dt |
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (t,t0 ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
HU (t,t0 ) , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в результате получим соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
dL(t) |
ˆ ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
HU (t,t0 )L(t) i U (t,t0 ) |
dt |
LHU (t,t0 ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
dL(t) |
|
ˆ ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
ˆ |
|
||||||
|
|
i U (t,t0 ) |
dt |
LHU (t,t0 ) HU (t,t0 )L(t) . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
1 |
(t,t0 ) |
|
|
|
|||
Умножим слева это равенство на U |
|
|
|
|
||||||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dL(t) |
ˆ 1 |
ˆ ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ ˆ |
ˆ 1 |
ˆ ˆ |
ˆ |
||
i |
|
U |
(t,t0 )LU (t,t0 )U |
|
(t,t0 )HU (t,t0 ) U |
(t,t0 )HU (t,t0 )L(t) . |
||||||||||
|
dt |
|
|
|||||||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
L(t ) |
|
|
|
|
|
|
|
H (t ) |
|
|
H (t ) |
|
|
Окончательно, приходим к операторному уравнению |
|
||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
dL(t) |
|
ˆ |
ˆ |
|
i |
dt |
L(t), H (t) , |
(3.13) |
||
которое называется уравнением движения Гейзенберга. |
|
||||
Итак, в картине Гейзенберга |
|
ˆ |
могут быть |
||
операторы L(t) , которые |
|||||
представлены унитарным преобразованием (3.12), изменяются с течением времени согласно уравнению движения Гейзенберга (3.13).
Отметим, что когда динамическая переменная L(t) зависит от времени t явно, справедливым будет уравнение движения следующего вида
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
dL(t) |
ˆ |
ˆ |
L(t) |
|
|
i |
dt |
L(t), H (t) i |
t |
. |
(3.14) |
|
В картине Гейзенберга зависимость от времени t средних значений 
l 
g
(t) физических величин L полностью определяется временной зависимостью
операторов ˆ . Если кет-векторы нормированы, то среднее значение
L(t) g
l 
g (t) в момент времени t находят по формуле
l |
ˆ |
(3.15) |
g (t) = g L(t) g . |
Поскольку для операторов выполняется преобразование (3.12), средние значения 
l 
g (t), рассчитанные по формулам (3.15) и (3.8), будут иметь одно
и тоже численное значение. Это означает, что поскольку 
l 
g (t) остается
одинаковым как в картине Гейзенберга, так и в картине Шредингера, то эти две картины физически эквивалентны друг другу.
Если выполняется равенство
ˆ
dL(t) 0 , dt
то соответствующая такому оператору динамическая переменная L будет интегралом движения, т. е. dL
dt 0, а ее среднее значение (3.15) не
изменяется со временем.
Из уравнения (3.13) или (3.14) следует, что всякая величина L, не зависящая от времени t явно ( L
t 0 ), будет интегралом движения, при
условии, что изображающий ее оператор ˆ коммутирует с оператором
L(t)
ˆ
H (t) .
Отметим, что картина Гейзенберга полезна при наглядной иллюстрации аналогии между квантовой механикой и классической механикой, записанной в формализме Гамильтона. Классическими уравнениями движения в этом случае являются канонические уравнения Гамильтона
dqi |
|
H |
, |
dpi |
|
H . |
(3.16) |
|
dt |
p |
dt |
||||||
|
|
|
q |
|
||||
|
|
i |
|
|
|
i |
|
где H – это функция Гамильтона. Если эта функция не зависит явно от времени t, то она тождественно равна полной энергии системы Е(q,p), выраженной через обобщенные координаты q и импульсы p .
Используя (3.16) и определение скобок Пуассона (2.8), несложно показать, что для полной производной по времени t любой динамической переменной L L q, p,t , как функции q , p и t, выполняется соотношение
dL |
|
L |
qi |
L |
|
dt |
q |
p |
|||
i |
i |
||||
|
i |
i |
|
L |
|
|
L |
|
pi |
|
||||
t |
qi |
||||
|
i |
|
|||
H |
|
L H |
|
|
L |
(L, H )сп |
L . |
||
|
|||||||||
pi |
|
|
t |
||||||
|
pi qi |
|
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.17) |
||
Таким образом, полная производная по времени динамической переменной L равна ее частной производной и скобке Пуассона этой величины L и функции Гамильтона Н.
Сравнивая соотношение (3.17) и (3.14), видим, что можно перейти от классических уравнений движения к аналогичным квантовым уравнениям в форме Гейзенберга путем замены скобок Пуассона соответствующим коммутатором
L,T |
|
|
1 |
L,T . |
|||
|
сп |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|