КВАНТЫ билеты / 11.Импульсное представление

импульсному

представлению,

необходимо

взять

в

качестве

базисных

векторов собственные векторы

p

оператора импульса

ˆ

( р1 ,

р2 ,

p , где р

… , рs ),

s – число степеней свободы. Их можно брать в этом качестве,

поскольку они независимы.

В п. 2.4 было показано, что собственные значения

p оператора

pˆ

образуют

непрерывное

бесконечное множество.

Следовательно,

в

импульсном представлении произвольные кет-векторы

g

ˆ

и операторы G

записываются

посредством

функций независимых

переменных

р и

p :

g ( p)

p

g

и G( p, p ) p

ˆ

p

, соответственно.

G

Найдем в импульсном представлении для импульса р, координаты q и

ˆ

кинетической энергии Т явный вид изображающих их операторов pˆ , qˆ и T ,

а также собственные функции этих операторов.

А. Оператор импульса pˆ

и его собственные функции. Рассмотрим

одномерный случай, введя обозначение р1

= р. Собственные векторы

p

ˆ

p p

(2.51)

p p

p ( p) p

p ( p p ) .

(2.52)

*

(2.53)

p ( p) p ( p)dp ( p

p ) .

Кроме того, они образуют полный непрерывный базис { p/ ( p)}

*

(2.54)

p ( p ) p

( p )dp ( p

p ) .

Поскольку выполняются условия (2.53) и (2.54), любую квадратично-

интегрируемую функцию

g ( p) p

g ,

зависящую от импульса

р и

описывающую состояние

g квантовой системы, можно записать в базисе

p ( p) -функций следующим образом

g ( p)

(2.55)

g ( p ) ( p p )dp .

Здесь функции g ( p ) определяются интегралом

(2.56)

g ( p )

( p p) g ( p)dp ,

*

*

.

(2.57)

g ( p), f ( p) g ( p) f ( p)dp g ( p ) f ( p )dp

Для квадратично-интегрируемой функции g ( p) условие нормировки

записывается следующим образом

g ( p), g ( p) *g ( p) g ( p)dp

g ( p)

2 dp 1 .

(2.58)

Вернемся к уравнению (2.51) на собственные значения p и собственные

векторы

p оператора импульса pˆ .

Используя это уравнение и равенство

(2.52), напишем выражение для ядра

p( p, p ) оператора

pˆ ,

записанного в

интегральной форме

p( p, p )

p p ( p p ) .

p

pˆ

(2.59)

pˆ ( p) p .

(2.60)

В импульсном представлении уравнение (2.51) можно преобразовать в

уравнение на собственные функции

p

( p) оператора pˆ ( p) и его собственные

значения р так же, как это было сделано для оператора координаты

xˆ( x) в

координатном представлении (см. п. 2.4). Результатом будет уравнение

pˆ ( p)

p

( p) p

p

( p) .

(2.61)

ˆ (p)

= p ,

(2.62)

p

а собственными функциями

p (p) =

p

p

оператора

ˆ (p)

являются дельта-

p

функции Дирака

p (p) = (p p ) .

(2.63)

Б.

Оператор координаты xˆ и его собственные функции. Для того,

чтобы

найти явный вид

оператора

координаты

xˆ

в

импульсном

представлении запишем третье из уравнений (2.11) : [xˆ, pˆ

] i

ˆ

I , в этом же

представлении

p

[xˆ, pˆ ]

p

i

p

ˆ

p .

(2.64)

I

Здесь учитывали, что p

pˆ

p

p

и

pˆ

p p

p . Правую часть (2.64)

запишем так

i p

ˆ

p

i

( p p ) .

I

( p p ) i

p

xˆ

p i

( p

p ) i

( p p ) .

( p p )

( p

p )

p

Таким образом, имеем

x( p, p ) p

p

p ) ,

xˆ

i

( p

(2.65)

p

xˆ

т. е. представителем оператора

в импульсном

представлении является

«непрерывная бесконечномерная» матрица. Обозначим через

xˆ

( p) i

(2.66)

p

дифференциальное

ядро оператора

координаты

xˆ , которое играет роль

оператора xˆ в импульсном представлении.

Следовательно, в импульсном

представлении оператору

координаты

xˆ( p)

соответствует операция

дифференцирования по р с множителем i .

Собственные функции

( p) p

x

оператора координаты xˆ( p)

x

являются решениями уравнения

xˆ

( p)

x

( p) x

x

( p) .

(2.67)

i

d x ( p)

x x

( p) .

(2.68)

dp

После интегрирования получим решения

x

( p) Ce ipx .

(2.69)