Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КВАНТЫ билеты / 15. Стационарные состояния

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

313.45 Кб

Скачать

☆

Стационарные состояния

Напомним, что когда оператор Гамильтона ˆ не зависит от времени t H

явно, его собственные значения Е будут численно равны значениям полной энергии квантовой системы и определяться из уравнения типа (1.15)

H E E E ,

где E – это собственные кет-векторы оператора ˆ . Данное уравнение

называется стационарным уравнением Шредингера. Объясняется это тем,

что состояние физической системы, в котором ее полная энергия имеет не изменяющееся во времени значение Е, называется стационарным состоянием.

В координатном представлении стационарное уравнение Шредингера
записывается как уравнение	на						E и
записывается как уравнение	на		собственные функции E (r )			r	E и
				ˆ
				ˆ	( r )
собственные значения Е оператора Гамильтона H
ˆ
ˆ	( r )					(3.24)
H		E (r ) = Е E (r ) .				(3.24)

Стационарное состояние описывается E (r )-функцией.

Часто экспериментальные исследования, производимые над физической системой, сводятся к измерениям ее энергетических характеристик. В связи с этим в квантовой механике особое внимание уделяется поиску собственных

значений оператора Гамильтона ˆ , а также его собственных векторов

(функций).

Сейчас для квантовой системы, характеризуемой независящим от времени гамильтонианом, запишем в координатном представлении волновое уравнение Шредингера


i			ˆ	( r )
i	t	g (r ,t) =	H		g (r ,t) .			(3.25)
	t
Оно допускает решение	методом		разделения переменных					t . В
Оно допускает решение	методом		разделения переменных			r	и	t . В

соответствие с этим методом частное решение уравнения (3.25) (обозначим
его как E (r ,t)) записывается в виде произведения двух функций,	одна из

которых зависит только от координат r , другая – от времени t:
E (r ,t) = E (r ) (t) .	(3.26)

Подставим правую часть (3.26) в уравнение (3.25) и после действия на функции операторов, поделим уравнение на произведение E (r ) (t) . В

результате получим

	(t)	ˆ	( r )	E	(r)
i		Н				.
	(t)		E (r)

Левая часть этого равенства зависит от t, правая часть – от r , поэтому равенство частей при всех значениях переменных t и r возможно, когда каждая из них будет постоянной величиной. Обозначая эту постоянную разделения переменных через Е, приходим к двум уравнениям:

i	d		(t) = Е (t) ,	(3.27а)

	dt
ˆ (r )				(3.27б)
H		E (r ) = Е E (r ) .

Заметим, что уравнение (3.27б) совпадает со стационарным уравнением Шредингера (3.24).

Вернемся к уравнению (3.27а). Его решения получаем без особого труда путем преобразования к виду

		d (t)	d ln (t) i			E		dt
			d ln (t) i					dt
		(t)
и интегрирования по переменной t в пределах от t0 до t
				i
(t) (t0 )exp					E(t t0 ) .				(3.28)
(t) (t0 )exp					E(t t0 ) .				(3.28)

Окончательно, частное решение уравнения (3.25) примет вид
							i
E (r	,t) = E (r ) (t0 ) exp							E(t t0 ) .	(3.29)
E (r	,t) = E (r ) (t0 ) exp							E(t t0 ) .	(3.29)

Общее решение g (r ,t) уравнения (3.25) можно записать как линейную

комбинацию частных решений типа (3.29).		(r ,t) и
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Функции	E
(r ) отличаются друг от друга зависящим только от времени		E
		фазовым

	i
множителем exp		E(t t0 )	. Значит, функция	E (r ,t) тоже удовлетворяет
множителем exp		E(t t0 )	. Значит, функция	E (r ,t) тоже удовлетворяет
						(r ,t) и
стационарному уравнению (3.24). Вследствие этого, обе функции					E	(r ,t) и
					E	E

(r ) являются функциями стационарных состояний и описывают физически

(r)

неразличимые состояния, в которых полная энергия Е системы имеет одинаковое и постоянное значение.

Несложно показать, что в стационарных состояниях

а) плотность вероятности E ( r ) не зависит от времени;

б) вероятность определения координаты r в малом объеме dV dPE ( r ) = E ( r ) dV

тоже не зависит от времени; в) среднее значение

l E =	*	(r )		=	*	(r )
	E (r	ˆ	E (r ,t) dV			ˆ	E (r ) dV = const
	E (r	,t) L	E (r ,t) dV		E (r ) L		E (r ) dV = const
V				V

физической величины L является постоянным числом и не зависит от времени.

В качестве примера запишем стационарное уравнение Шредингера в координатном представлении для квантовой системы, состоящей из одной нерелятивистской частицы. Рассмотрим два случая.

1) Свободная частица. Для такой частицы оператор Гамильтона ˆ

определяется выражением (3.19). Поэтому стационарное уравнение Шредингера будет иметь вид

E (r ) 2m E E (r ) = 0 . (3.30)

2) Частица находится в потенциальном поле. Оператор Гамильтона

Нr) представляется суммой

ˆ (r)		2
Н		2m	+ U (r) .	(3.31)

ˆ(r)

Стаким оператором Н стационарное уравнение Шредингера примет вид

	2m
E (r )		[E U (r)]	E (r ) = 0 .	(3.32)
E (r )	2	[E U (r)]	E (r ) = 0 .	(3.32)
	2
Спектр оператора Гамильтона		ˆ
Спектр оператора Гамильтона		H может быть как дискретным, так и
непрерывным. Предположим,	что	спектр	дискретный,	а собственные

		ˆ		Еn, где		n = 1, 2, … . Если вернутся к
значения оператора H обозначим через
координатному представлению,			то собственные функции					(r ) оператора
	(r)							E
ˆ		можно обозначить через			En ,	где число	n	соответствует

Н			n (r )	r

номеру стационарного состояния.

Функции n (r ) стационарных состояний удовлетворяют условиям ортонормировки

m*			mn
m*	(r	) n (r ) dV =	mn		(3.34)
V
и полноты базиса
		*
		*		- r) .	(3.35)
n (r ) n (r) = (r				- r) .	(3.35)

n 1

Значит, их удобно использовать в качестве базисных функций и по ним можно разложить произвольную квадратично-интегрируемую g (r ,t)-

функцию
g (r ,t) = gn (t) n (r ) .	(3.36)
n
Здесь коэффициенты разложения gn (t) – это комплексные	числа,

образующие дискретную совокупность. Учитывая соотношение (3.34) и

(3.36), несложно	показать,		что gn (t)	определяются путем		вычисления
интеграла

		gn (t)	= n* (r ) g (r ,t) dV .			(3.37)
			V
Кроме того,	gn (t) можно рассматривать как коэффициенты разложения

вектора состояния		g(t) , принадлежащего			сепарабельному	пространству
Гильберта , по собственным векторам				En	ˆ
					ˆ
					оператора H :

g(t) gn (t) En , где gn (t) = En g(t) .

Данная запись означает, что кет-вектор g(t) написали в так называемом

энергетическом представлении, или Е-представлении.

Числа gn (t) можно также рассматривать как амплитуду вероятности

Pg(En,t) = En g(t) 2

обнаружить квантовую систему в состоянии с энергией En при выполнении измерения в момент времени t.

Соседние файлы в папке КВАНТЫ билеты

#
23.02.2015330.82 Кб10212. Стационарная теория возмущений.pdf
#
23.02.2015290.24 Кб7613. Зависимость физических величин от времени.pdf
#
23.02.2015535.05 Кб8213. Простейшие приложения стационарной теории возмущений.pdf
#
23.02.2015286.32 Кб8614. Уравнение Шредингера в координатном представлении.pdf
#
23.02.2015422.64 Кб7615. Нестационарная теория возмущений и элементы теории квантовых переходов.pdf
#
23.02.2015313.45 Кб6915. Стационарные состояния.pdf
#
23.02.2015367.36 Кб7416. Вариационный метод.pdf
#
23.02.2015295.39 Кб7216. Свободное движение частицы.pdf
#
23.02.2015411 Кб7617. Принцип тождественности частиц.pdf
#
23.02.2015429.38 Кб7117. Частица в потенциальном силовом поле прямоугольной формы.pdf
#
23.02.2015535.05 Кб7217.Простейшие приложения стационарной теории возмущений.pdf