КВАНТЫ билеты / 16. Свободное движение частицы

Свободное движение частицы

Вначале рассмотрим свободно движущуюся микрочастицу массы m. Для упрощения задачи ограничимся одномерным движением вдоль координатной оси X. Изучение движения этой квантовой системы в координатном представлении предполагает решение стационарного уравнения Шредингера вида (3.30), в котором оператор Лапласа сведется ко второй производной по х:

где k = 2π/λ – это волновое число, имеющее размерность обратной длины волны. Перепишем уравнение (4.1)

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Частное решение такого уравнения ищется в виде E (x ) = eγx. После подстановки экспоненты в уравнение получаем два

значения γ: γ1,2 = ±ik.

Следовательно, для любого положительного значения полной энергии

где с1 и с2 – это неопределенные постоянные. Это общее решение равно линейной комбинации двух независимых частных решений, является конечным и имеет осциллирующий характер. Отметим, что частные решения

совпадают с собственными функциями (2.37) оператора импульса pˆ ( x) для его двух собственных значений p1,2 2mE .

При отрицательных значениях энергии Е < 0 общее решение уравнения (4.3) будет иметь вид

E (x ) C1ekx C2e kx .

Оно содержит две экспоненты с вещественными показателями, которые

допустимых решений уравнения (4.3), как не имеющее физического смысла, в связи с тем, что E (x )-функция должна быть конечной при любых

значениях x.

Итак, спектр оператора Гамильтона данной системы является

непрерывным и занимает всю положительную энергетическую полуось 0 E .

Постоянные множители с1 и с2 определяются из условия нормировки общего решения (4.4) на дельта-функцию Дирака:

При вычислении с1 и с2 надо учитывать следующее свойство δ-функции (см. прил. 1)

Итак, нормированная E (x )-функция, являющая собственной функцией

оператора Гамильтона свободной частицы и отвечающая состоянию, в котором частица имеет энергию Е, записывается в виде

Видно, что функция E (x ,t) есть линейная комбинация двух функций, каждая из которых является записью в комплексной форме плоской

монохроматической волны. Причем, первому слагаемому в (4.7) отвечает волна (волна де Бройля), распространяющаяся в положительном направлении координатной оси X, а второму – в отрицательном направлении.

Вероятность обнаружения частицы в заданном месте оси Х определяется

постоянное значение, равное 1/ 2 v . Таким образом, обнаружить свободную частицу с произвольным значением энергии Е [0; [ можно с равной вероятностью в любом месте одномерного пространства. Другими словами, свободная частица со строго определенной энергией (импульсом) совершенно нелокализована.