КВАНТЫ билеты / 7. Полный угловой момент

Если

микрочастица

обладает

спином

,

то

это приводит

к

s

необходимости рассматривать ее полный момент количества движения

j .

моментов (рис.

Он равен векторной сумме орбитального l и собственного s

5.5):

(5.71)

j l

s .

ˆ

ˆ

и

Оператор j

полного момента j записывается в виде суммы операторов l

ˆ

s

ˆ

ˆ

ˆ

(5.72)

j l

s .

Поскольку

операторы

орбитального

момента

ˆ

ˆ

l и спина

s действуют в разных

подпространствах

пространства

состояний,

они

коммутируют

между

собой

ˆ

ˆ

[ l, s] 0 .

Поэтому

не представляет

особого

труда

показать, что операторы компонент

ˆ

ˆ

и

jx

, j y

ˆ

ˆ

jz полного момента j удовлетворяют тем же

коммутационным соотношениям

ˆ

ˆ

ˆ

, , , x, y, z ,

(5.73)

Рис. 5.5

[ j , j ] i j

что и операторы компонент орбитального момента l

(5.35) и спина s (5.55).

Кроме того, могут применяться и все другие полученные в

п. 5.1 и 5.3

формулы,

при

выводе которых

использовались

лишь

коммутационные

соотношения.

Например,

оператор

квадрата

полного

момента

ˆ2

j

коммутирует с любым оператором своей проекции

ˆ

ˆ

и

ˆ

Из этого

jx ,

j y

jz .

следующие.

Квадрат длины j 2j момента j равен

j 2j 2 j( j 1) ,

(5.74)

где

j –

это

внутреннее

квантовое

число.

Оно определяет собственное

значение

2

оператора

квадрата полного

момента

ˆ2

и

может быть

j j

j

выражено через орбитальное l и спиновое s квантовые числа

j =

l s

,..., l s .

1 2 .

Предположим, имеется

микрочастица со спином

Если спин s

ориентирован в направлении орбитального момента l , то

j = l 1/ 2 ,

если он ориентирован противоположно, то

j = | l 1/ 2 | .

Для проекции jz момента j на ось Z имеем

jz

m j ,

(5.75)

где число mj

называется магнитным внутренним квантовым числом. Оно

определяет возможные значения проекции

jz

и при заданном числе j может

принимать всего (2 j + 1) значения от – j до

j

через единицу.

Отметим, что для z-х проекций справедливо равенство

jz

lz sz

,

поэтому число m j удовлетворяет соотношению

m j

ml ms .

Изучая квантовую систему, обладающую орбитальным l и собственным

необходимо выделить два случая.

В первом случае считаем,

s моментами,

отсутствует взаимодействие.

Гамильтониан

что в системе моментов l и

s

ˆ

этой

замкнутой системы

коммутирует

по

отдельности

с любым из

H0

операторов, которые сопоставляются моменту l или s :

ˆ

ˆ

0 ,

ˆ

ˆ

[H0

, l ]

[H0 , s] 0 .

Следовательно, моменты количества движения l

и s являются интегралами

движения (выполняется закон сохранения для моментов l

и s ).

В соответствии с теорией, изложенной в п. 5.2, такая квантовая система

может находиться в (2l 1)(2s 1)

различных состояниях,

характеризуемых

одинаковыми квантовыми числами l

и s , но отличающихся значениями ml и

ms . Каждому из этих состояний соответствует свой вектор состояния

l, s, ml , ms

=

l, ml

s, ms

,

ˆ2

,

sˆ

2

ˆ

и

sˆz .

который является собственным вектором четырех операторов l

, lz

ˆ

системы диагональна.

В базисе этих векторов матрица гамильтониана H0

Во втором

случае,

предполагаем,

что в

системе

присутствует

взаимодействие

моментов

и

т.

е.

имеется спин-орбитальное

l

s ,

взаимодействие.

Тогда

в

гамильтониан

ˆ

надо

включать

H системы

ˆ

ˆˆ

а – это константа, ответственный за это

дополнительный член Usl

a ls , где

взаимодействие:

ˆ

ˆ

ˆ

H = H0

+Usl .

ˆ

Оператор Usl коммутирует только с оператором полного момента j l

s и

не коммутирует с операторами орбитального момента

ˆ

спина

ˆ

по

l

и

s

отдельности. Поэтому

ˆ

ˆ

0 .

[H , j]

При этом

ˆ

а

значит

и

гамильтониан

ˆ

будет

коммутировать с

Usl ,

H

ˆ2

sˆ

2

и

. Это

означает,

что

вектор

j является

интегралом

операторами l

движения.

то они не являются интегралами

Что касается моментов l

и s ,

движения, однако их длины не меняются с течением времени.

Наличие спин-орбитального взаимодействия

приводит

к

тому,

что

следует рассматривать полный момент

j системы.

Согласно представлениям

классической механики,

при спин-орбитальном взаимодействии существует

и

вокруг направления вектора полного момента

прецессия векторов l

s

j ,

состояния

l, s, j, m j

, которые являются собственными векторами операторов

ˆ2

,

sˆ

2

,

ˆ2

ˆ

ˆ

l

j

и jz . В базисе данных векторов матрица гамильтониана H будет

диагональной.

Кет-векторы

l, s, j, m j

связаны с кет-векторами

l, s,ml ,ms