КВАНТЫ билеты / 2. Движение частицы в периодическом поле

Движение частицы в периодическом поле

К числу задач квантовой механики, играющих фундаментальную роль, относится задача о движении частицы в пространственно-периодическом потенциальном поле. Рассмотрим ее для одномерного случая.

Предположим, что частица движется вдоль координатной оси X в силовом поле с периодическим потенциалом. Зависимость потенциальной энергии U(x) частицы от координаты х представляется цепочкой одинаковых прямоугольных ям ширины а, отделенных друг от друга прямоугольными барьерами высоты U0 и ширины b (рис. 4.9). Период повторения ям или барьеров с = а + b. Начало системы координат (точку х = 0) выберем так, чтобы она совпадала с левым краем одной из потенциальных ям, как это показано на рис. 4.9.

Таким образом, потенциальная энергия представляет собой функцию:

(4.42)

Стоит отметить, что вышеприведенное изменение потенциальной энергии частицы используется в упрощенной одномерной модели реального кристаллического поля, которая называется модель Кронига – Пенни.

С целью исследования поведения частицы в пространственнопериодическом потенциальном поле необходимо решить стационарное уравнение Шредингера вида (4.8)

Прежде чем приступить к решению этого уравнения, следует сказать, что общий вид E (x )-функции, которая описывает стационарные состояния

частицы, можно найти не решая самого уравнения Шредингера. Надо только

расстояние с), определяемый следующим образом

собственных функций и в соответствии с теоремой Блоха решения E (x )

стационарного уравнения Шредингера (4.8) с периодической потенциальной энергией (4.42) будут равны k (x ), т. е. иметь вид (4.46). Такие функции

часто называют функциями Блоха.

С помощью теоремы Блоха находят общий вид собственной функции E

ˆ

(x ) оператора H ( x) во всем пространстве. Однако, чтобы найти ее явный вид

и и значения полной энергии Е системы решают стационарное уравнение Шредингера. При этом достаточно рассмотреть только один период потенциала U(x). Выделим в этом периоде две области, а именно,

когда она, находится вне потенциальной ямы. В этих уравнениях Ek – это кинетическая энергия частицы

Ek 2 k 2 . 2m

Будем считать, что значение высоты потенциального барьера U0 больше значения полной энергии частицы Е (Е < U0). В этом случае, общее решение уравнений (4.48а) и (4.48б) может быть записано соответственно в виде

неизвестные постоянные A, B, C и D.

В свою очередь, постоянные A, B, C и D определяются из граничных условий. Непрерывность функции u(x) и ее первой производной u (x) по x в

местах скачков потенциала, т. е. на стенках потенциальной ямы, задают граничные условия в виде системы четырех уравнений

Если подставить в эту систему функции uk1(x) (4.49а) и uk 2 (x) (4.49б), то она

преобразуется в систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно A, B, C и D. Как известно, такая система имеет отличные от нуля решения, если определитель, составленный из коэффициентов при A, B, C и D, равен нулю.

Раскрывая определитель, записывают секулярное уравнение. Решая его, находят корни уравнения, т. е. такие значения k, при которых определитель будет равен нулю. Затем, подставляя каждое из этих значений в однородную систему алгебраических уравнений, получают выражения для определения неизвестных постоянных A, B, C и D. Используя эти выражения, приходят к следующему уравнению

Оно связывает величины k1 и k2, в которых заключены значения полной энергии Е частицы, с волновым числом k. Левая часть уравнения зависит от волнового числа k, а правая от полной энергии E частицы, поэтому это уравнение позволяет найти зависимость E(k), т. е. дисперсионное соотношение для частицы в периодическом потенциальном поле.