КВАНТЫ билеты / 12. Стационарная теория возмущений
.pdf
Стационарная теория возмущений
Пусть |
имеется |
квантовая |
система, |
характеризуемая |
оператором |
|||
Гамильтона |
ˆ |
|
|
|
|
|
некоторой |
|
H , которая не очень сильно отличается от |
|
|||||||
идеализированной системы допускающей |
точное аналитическое |
решение. |
||||||
Для последней системы оператор |
|
|
ˆ |
. |
При этом |
|||
Гамильтона обозначим H 0 |
||||||||
имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
(7.1) |
|
|
|
H = H 0 |
+V , |
|
|||
ˆ |
это малая |
добавка, которую |
принято называть |
оператором |
||||
где V |
– |
|||||||
возмущения: ˆ << ˆ 0 .
V H
Поиск приближенных решений уравнения Шредингера с гамильтонианом (7.1) составляет предмет теории возмущений. В методе теории возмущений процедура решения задачи по поиску собственных
значений и векторов (функций) оператора Гамильтона ˆ разбивается на два
H
этапа. Первый этап заключается в строгом решении упрощенной задачи (для
идеализированной системы) с оператором ˆ 0 , второй – в приближенном
H
|
ˆ |
вычислении малых поправок V , отброшенных в упрощенной задаче. Если |
|
ˆ |
ˆ |
операторы Гамильтона H 0 |
и возмущения V не зависят явно от времени, то |
применяется стационарная теория возмущений (теория стационарных возмущений).
Для упрощения записи решения рассматриваемой задачи ограничимся
случаем с дискретным спектром собственных значений |
En |
ˆ |
||||||||||
оператора H . |
||||||||||||
Значит требуется найти приближенные решения |
En и |
|
En |
стационарного |
||||||||
уравнения Шредингера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ˆ |
|
En |
ˆ |
ˆ |
|
En = En |
|
|
En . |
|
(7.2) |
|
|
|
|
|
|||||||||
H |
|
= ( H 0 |
+V ) |
|
|
|
|
|||||
При решении этого уравнения, остановимся только на втором этапе,
предполагая, |
что задача на определение |
собственных |
кет-векторов |
En0 |
||||
ˆ |
и его собственных значений |
0 |
= |
0 |
ˆ |
0 |
уже решена. |
|
оператора H 0 |
En |
En |
| H0 | En |
|||||
Оказывается, что вид решений уравнения (7.2) зависит от того, вырождены значения En0 энергии или нет. Поэтому следует рассмотреть обе эти ситуации.
Вначале обратимся к случаю, когда собственные значения En0 оператора
ˆ 0 не вырождены. Тогда квантовая система в разных собственных
H
состояниях |
En0 |
обладает |
отличающейся |
по |
|
значениям энергией |
En0 . |
||||||
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
0 |
|
0 |
|
|
(7.3) |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
H 0 |
En |
= En |
|
En |
|
|
|||||
считается решенным, т. е. известны как En0 , так и |
|
En0 . |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
Процедуру |
вычисления |
|
кет-векторов |
|
En , которые описывают |
||||||||
|
|
||||||||||||
стационарные состояния возмущенной системы, а также значений |
En |
||||||||||||
энергии системы в этих |
состояниях |
|
|
En |
|
удобно проводить в |
Е- |
||||||
|
|
|
|||||||||||
представлении. В этом представлении векторы и операторы будут записаны в матричном виде. Вспомним, что ортонормированные кет-векторы En0 
образуют полный базис в пространстве векторов состояний. Поэтому любой вектор состояния En 
может быть представлен в виде разложения по этим
векторам согласно (1.3)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
En |
= ekn |
|
Ek0 . |
|
|
|
|
(7.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Совокупность коэффициентов разложения ekn |
= |
Ek0 |
En |
является |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
представителем кет-вектора |
En |
, |
записанным в |
базисе |
собственных |
|
кет- |
|||||
|
|
|
ˆ |
, т. е. в Е-представлении кет-вектор |
|
En |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
векторов оператора Гамильтона H 0 |
|
|||||||||||
записывается через набор чисел ekn .
Подставим разложение (7.4) в уравнение (7.2)
ˆ |
ekn |
0 |
ˆ |
ekn |
0 |
= En ekn |
0 |
H 0 |
Ek |
+V |
Ek |
Ek . |
|||
|
k |
|
|
k |
|
k |
|
Теперь спроектируем каждый член этого уравнения на кет-вектор Em0 
0 |
0 |
0 |
0 |
ˆ |
0 |
0 |
0 |
ekn Ek |
Em |
Ek |
+ ekn Em |
V |
Ek |
= En ekn Em |
Ek . |
k |
|
|
k |
|
|
k |
|
Поскольку условие нормировки для собственных векторов оператора
ˆ 0 имеет вид
H
E0 |
E 0 |
= |
mk |
, |
m |
k |
|
|
окончательно получаем
Em0 emn + Vmk ekn = En emn ,
k
0 |
ˆ |
0 |
– это матричные элементы оператора возмущения |
ˆ |
где Vmk = Em |
V |
Ek |
V в |
|
|
|
|
ˆ |
|
базисе собственных векторов оператора Гамильтона H 0 . |
|
|||
Таким образом, в Е-представлении уравнение (7.2) свелось к системе |
||||
алгебраических уравнений |
|
|||
|
|
|
( En – Em0 ) emn = Vmk ekn |
(7.5) |
|
|
|
k |
|
с неизвестными значениями энергии En и коэффициентов ekn .
Идея теории возмущения, называемой теорией возмущения Релея-
Шредингера, состоит в том, что |
величины En и enk |
ищутся в виде |
|||
сходящихся рядов: |
|
|
|
|
|
En = En(0) + En(1) + En(2) +… , |
(7.6) |
||||
e |
= |
mn |
+ e(1) |
+ e(2) +… , |
(7.7) |
mn |
|
mn |
mn |
|
|
где верхний индекс в скобках указывает на порядок малости. Величины En(1) и emn(1) такого же порядка малости, что и матричные элементы Vmk оператора
возмущения ˆ .
V
Подстановка рядов (7.6) и (7.7) в систему уравнений (7.5) дает в результате в равенство, которое выполняется при равенстве членов одинаковых порядков малости. Рассматривая отдельно все члены нулевого, первого, второго и т.д. порядков малости, приходим к системе уравнений
( E (0) |
– E 0 ) |
mn |
= 0 |
(в 0-м порядке) , |
(7.8а) |
n |
m |
|
|
|
|
( En(0) – Em0 ) emn(1) + En(1) mn = Vmk kn |
(в 1-м порядке) , |
(7.8б) |
|||
|
|
|
k |
|
|
( En(0) – Em0 ) emn(2) + En(1) emn(1) + En(2) mn = Vmk ekn(1) |
(во 2-м порядке) , |
(7.8в) |
|||
|
|
|
k |
|
|
……………………………………………………………………
Из уравнения (7.8а) видно, что в нулевом приближении имеем |
|
En(0) = En0 , |
(7.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En(0) |
= kn |
Ek0 |
|
|
= |
|
En0 |
, |
(7.10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
||
т. е. собственные значения |
оператора |
|
|
|
|||||||||||||||||||
En |
|
H и его собственные векторы |
|||||||||||||||||||||
|
En(0) |
в нулевом приближении точно совпадают с собственными значениями |
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
En и собственными векторами |
|
En |
|
оператора H 0 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
Учитывая решение (7.9), уравнение (7.8б) перепишем в виде |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( E 0 – E 0 ) e(1) |
+ E (1) |
|
mn |
|
= V . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
m |
|
mn |
|
n |
|
|
|
|
mn |
|
|||
Полагая здесь |
|
m n , |
|
находим |
поправку |
|
к |
значению E 0 |
в первом |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
приближении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
(1) |
= V |
|
, |
|
|
|
(7.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
где |
0 |
|
ˆ |
|
0 |
– |
это |
диагональный матричный элемент |
оператора |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
Vnn = En |
|
V |
|
En |
|||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
возмущения V . Если считать, что индексы n и m не равны друг другу m n , |
|||
получим |
|
|
|
( E 0 |
– E 0 ) e(1) |
= V |
, |
n |
m mn |
mn |
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
emn(1) = |
Vmn |
|
. |
(7.12) |
||
E 0 |
E 0 |
|||||
|
|
|
||||
|
n |
|
m |
|
|
|
Коэффициент enn(1) является произвольным и может быть выбран так, чтобы вектор
En = |
En(0) + |
En(1) = |
En0 + ekn(1) |
Ek0 |
(7.13) |
|
|
|
k |
|
|
был нормирован с точностью до членов первого порядка малости
включительно. В этом случае enn(1) = 0. Таким образом, |
поправка к вектору |
|||||
|
En0 в первом приближении равна |
|
|
|
|
|
|
|
En(1) = |
Vkn |
|
Ek0 . |
(7.14) |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
k n En0 Ek0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из формул (7.12) и (7.14) видно, что критерий применимости теории возмущения определяет неравенство
|Vkn | << | En0 Ek0 | .
Следовательно, недиагональные матричные элементы оператора возмущения
ˆ должны быть малы по сравнению с разностью соответствующих
V
собственных значений оператора ˆ 0 .
H
Аналогичным образом можно вычислить поправки более высоких приближений. Например, принимая во внимание (7.9) и (7.11), уравнение (7.8в) можно записать в виде
( En0 – Em0 ) emn(2) +Vnn emn(1) + En(2) mn = Vmk ekn(1) . k
Пусть m n , тогда из этого уравнения, с учетом (7.12), получим поправку к значению энергии En0 во втором приближении
En(2) |
= |
V |
V |
= |
|V |
|2 |
|
|
nk |
kn |
kn |
|
. |
(7.15) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
k n En0 Ek0 |
k n En0 Ek0 |
|
|
||||
|
|
|
ˆ |
|
В последнем равенстве воспользовались эрмитовостью V (Vkn |
||||
Перейдем |
к случаю, когда собственные значения |
En0 |
||
вырождены с |
кратностью вырождения |
fn . |
Значению |
|
принадлежит |
fn собственных векторов |
En0 |
(i = |
1, |
|
|
i |
|
|
удовлетворяющих уравнению
Vnk* ).
оператора ˆ 0
H
энергии En0
2, … , fn ),
ˆ |
0 |
0 |
0 |
. |
(7.16) |
||
H 0 |
En |
i |
= En |
En |
i |
||
|
|
|
|
|
|
||
Задача состоит в нахождении приближенных решений стационарного уравнения Шредингера вида
ˆ |
En |
|
ˆ |
ˆ |
En |
|
= En |
|
En |
|
. |
(7.17) |
H |
j |
= ( H 0 |
+V ) |
j |
j |
j |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбор одного из собственных векторов En0i 
в качестве вектора нулевого
приближения неоднозначен. Однако вместо них можно взять линейную комбинацию этих векторов
|
|
|
|
|
|
|
|
f n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
En0i . |
|
|
(7.18) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В связи с этим вектор состояния |
|
En |
j |
можно искать в виде разложения |
|
||||||||||
|
En |
j |
= ekn |
j |
|
Ek0 |
= ek |
n |
j |
|
Ek0 . |
(7.19) |
|||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k ,i |
|
|
|
|
|
|||
Действуем как ранее, т. е. подставляем (7.19) в уравнение (7.17). В результате получим систему алгебраических уравнений
|
|
|
|
( En |
j |
– Em0 ) em |
n |
= |
Vm |
k |
ek |
n |
, |
|
(7.20) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
i |
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ,i |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Vm ki = Em |
|
V |
Eki . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нулевом приближении имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En j |
|
= En |
, |
|
|
|
|
|
(7.21) |
||
|
|
|
|
|
|
|
E (0) |
= |
e |
|
E 0 |
|
, |
|
|
|
(7.22) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n j |
|
|
ij |
ni |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
e(0) = e |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||
где учитывали, что |
|
. При этом величины |
оказываются пока |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ki n j |
|
ij |
|
kn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
неизвестными.
В первом приближении приравнивание членов первого порядка, когда m n , дает систему fn уравнений
E (1) e j |
= Vn |
n |
eij . |
|
|
|
|
||||
n j |
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту систему приведем к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( V |
– E (1) |
i |
) e |
|
= 0 , |
|
|
|
(7.23) |
||
n ni |
|
n j |
|
ij |
|
|
|
|
|
||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. она преобразовалась в |
систему |
|
fn линейных |
однородных |
|||||||
алгебраических уравнений для неизвестных величин |
e |
и |
E (1) . Эта система |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
n j |
|
имеет отличные от нуля решения |
E (1) , если ее определитель равен нулю. |
||||||||||
|
|
n j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрывая определитель, получим уравнение степени |
fn |
относительно |
|||||||||
величин E (1) , называемое секулярным |
уравнением. |
Решая это уравнение, |
|||||||||
n j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим в общем случае |
fn решений |
(1) |
, которые являются поправками к |
||||||
En j |
|||||||||
значению |
En0 |
в первом |
приближении. |
Следовательно, |
под |
действием |
|||
|
ˆ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
возмущения V |
вырожденный уровень |
En распадается на ряд подуровней |
|||||||
|
|
|
En j |
0 |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
= En + En j . |
|
|
(7.24) |
|||
Подставляя |
найденные решения |
E (1) |
в |
(7.23) определяют |
|
величины e , |
|||
|
|
|
|
n j |
|
|
|
|
ij |
которые позволяют получить векторы нулевого приближения |
|
E (0) |
согласно |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n j |
|
разложению (7.22). |
|
|
|
|
|
|
|
||