КВАНТЫ билеты / 15. Нестационарная теория возмущений и элементы теории квантовых переходов

Нестационарная теория возмущений и элементы теории квантовых переходов

Рассмотрим квантовую систему, физическая модель которой

описывается известным оператором Гамильтона ˆ 0 , не зависящим явно от

H

времени t . Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда спектр

оператора ˆ 0 дискретен и не вырожден. Тогда его собственные кет-векторы

H

En0 и собственные значения En0 удовлетворяют уравнению (7.3)

и будет уже зависеть от времени. Полная энергия E системы в этом случае не сохраняется, а стационарные состояния не будут собственными состояниями возмущенной системы. Ее собственному состоянию

с начальным условием: g(0) = En0 .

Следовательно, задача состоит в отыскании решения g(t) уравнения

(7.46). Однако процесс строгого решения данного дифференциального уравнения сталкивается с большим трудностями математического характера, в связи с чем приходится прибегать к приближенным методам. К ним относится метод нестационарной теории возмущений (теория нестационарных возмущений), применяемый, когда зависящий от времени

оператор возмущения ˆ мал.

V (t)

описывают стационарные состояния невозмущенной квантовой системы и образуют полную систему, произвольный вектор состояния g(t) можно по

ним разложить следующим образом

результате приходим к системе связанных линейных дифференциальных уравнений первого порядка по времени t

Частота mn называется боровской частотой перехода между энергетическими уровнями En0 и Em0 .

Из системы уравнений (7.48) можно определить неизвестные коэффициенты gm (t) и таким образом описать эволюцию квантовой

Если изначально собственному n-му состоянию невозмущенной системы отвечает вектор En0 , тогда для t0 0 имеем

Подставляя ряд (7.49) в (7.48) и приравнивая величины одного порядка малости друг к другу, преобразуем систему дифференциальных уравнений. В нулевом порядке теории возмущений находим

которые без особого труда интегрируются. Предполагаем, что m k . Тогда с

Если подставим его в разложение (7.47), то найдем вектор состояния g(t) в

первом порядке теории возмущений.

Аналогичным образом находят дифференциальные уравнения с точностью до второго порядка, в которых учитывают результат (7.50). Решая

уравнения, получают коэффициенты gm(2) (t) . Эту процедуру можно

итерационно продолжить и дальше, чтобы найти коэффициенты более высоких приближений.

Таким способом выполняется приближенное вычисление зависящих от

момент времени система подверглась зависящему от времени возмущению V (t) . Под воздействием этого возмущения состояние системы изменится.

Обозначим через Pmk (t) вероятность обнаружить систему в момент времени

другими словами, вероятность квантового перехода с энергетического

индуцируется возмущением V (t) . По общим правилам эта величина равна квадрату модуля коэффициента gm (t)

периодические во времени t возмущения. Они описываются гармоническими

состояние Em0 в первом порядке теории возмущений. Для этого подставим (7.53) в (7.50) и выполним затем интегрирование

случае называется резонансной частотой), первый член в квадратных скобках значительно возрастает, а второй становится пренебрежимо малым.

Следовательно, выражение для вероятности перехода Pmk (t, ) с нижнего уровня Ek0 на верхний Em0 , которая будет зависеть и от резонансной

Значит, если время t действия возмущения велико по сравнению с характерным временем 1/ mk изменения квантовой системы: t , то

последний множитель в выражении (7.54) будет отличаться от дельта-

приходящихся на этот интервал, определяется выражением (Em0 ) Em0 , где функция (Em0 ) называется плотностью энергетических состояний и равна

количеству состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал. Следовательно, вероятность перехода в одно из конечных состояний, которую обозначим как Wmk ( ) , определяется интегралом

вынести из-под знака интеграла (7.57). Тогда этот интеграл приводим к виду

математической записью золотого правила Ферми.