КВАНТЫ билеты / 10. Движение электрона в кулоновском поле притяжения

Движение электрона в кулоновском поле притяжения

Одним из наиболее важных случаев движения частицы в сферическисимметричном поле является движение в кулоновском поле, в котором ее потенциальная энергия U(r) обратно пропорциональна расстоянию r до

силового центра: U(r) ~ 1r . Особый интерес при этом вызывает изучение

движения электрона с массой m и зарядом –е в кулоновском электростатическом поле притяжения ядра с зарядом +Zяe (Zя – это порядковый номер ядра в системе Менделеева, равный числу протонов в ядре). Это модель атома водорода и водородоподобных атомов (они представляют собой ионы, у которых в кулоновском поле ядра находится один электрон).

Потенциальная энергия U(r) взаимодействия электрона и ядра есть энергия кулоновского взаимодействия двух точечных зарядов –е и +Zяe. В системе единиц CGSE она определяется по формуле

U(r) = ZЯ e2 , r

где r – это расстояние между электроном и ядром. При записи этой формулы за начало отсчета потенциальной энергии берется энергия системы «ядро с находящимся от него на бесконечности электроном».

Введем несколько допущений, облегчающих проведение теоретического анализа движения электрона. Во-первых, рассмотрим нерелятивистский электрон, во-вторых, пренебрежем наличием у него спина, наконец, в- третьих, считаем ядро неподвижным, т. е. его масса предполагается бесконечно большой по сравнению с массой электрона.

В координатном представлении оператор Гамильтона рассматриваемой системы будет иметь вид

Ставим задачу по поиску собственных значений Е этого гамильтониана и собственных функций E ( r , , ), описывающих стационарные состояния

электрона в кулоновском поле ядра водородоподобного атома. Задача в такой постановке является одной из простых в квантовой механике, но имеет большое значение и в теории не водородоподобных атомов. Отметим, что эта задача относится к тому немногочисленному классу задач квантовой механики, которые допускают получение строгого решения в виде аналитических функций (см., например, гл. 4).

Как было показано в п. 6.1, функцию E ( r , , ) ищем в виде (6.8)

E ( r , , ) = (r) Yl,m ( , ) . r l

Функция (r) rR(r) является решением дифференциального уравнения (6.6), которое в нашем случае принимает следующий вид

Это уравнение также позволяет найти значения Е энергии электрона в стационарных состояниях.

Очевидно, что дифференциальное уравнение (6.14) отвечает одномерному движению в поле с эффективной потенциальной энергией

напоминает потенциальную яму, следовательно, движение электрона будет финитным, а энергия E – квантованной. При положительной полной энергии E ≥ 0 электрона его движение ограничивается с одной стороны, поэтому движение будет инфинитным, а энергия E может принимать любое значение.

Вдальнейшем рассмотрим только случай, когда E < 0, поскольку именно он соответствует связанным состояниям электрона в атоме.

Вуравнении (6.14) удобно перейти от размерных величин r и E к безразмерным и , связанным соотношениями

где через а обозначили атомную единицу длины (равна боровскому радиусу)

а через Ea атомную единицу энергии

Ea e2 me4 27,21 эВ . a 2

После подстановки (6.15) в уравнение (6.14) и выполнения ряда преобразований получим уравнение

которое не содержит постоянных m, e и . Поскольку 0 удобно ввести положительную величину такую, чтобы

Это уравнение, как и уравнение, описывающее линейный осциллятор,

решаем с предварительным выделением особых точек. Уравнение имеет две особых точки: и 0 .

Найдем сначала асимптотические решения а ( ) этого уравнения при. Пренебрегая для больших членами младших порядков, получим упрощенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

d 2 а2( ) 2 а ( ) 0 . d

Этому уравнению удовлетворяют две функции

1а ( ) = С1e и 2а ( ) = С2e .

В показателе экспоненты необходимо выбрать знак минус, так как решение со знаком плюс бесконечно возрастает при . Следовательно, из условия ограниченности волновой функции вытекает требование С1 0 .

Полученный выше результат дает основание искать решение уравнения

(6.17) в виде

слагаемыми уравнения (6.17), которые были опущены при поиске асимптотического решения а ( ) . Подставим (6.18) в уравнение (6.17) и

приравняем коэффициенты при наименьших степенях . В итоге находим квадратное уравнение для

( 1) l(l 1) .

Оно имеет два решения

1 l и 2 l 1 .

Из них только второе удовлетворяет требованию ( ) 0 при стремлении переменной к нулю.

Таким образом, функция ( ) , удовлетворяющая условиям конечности в нуле и бесконечности, может быть записана в виде

0

Неизвестные коэффициенты a находятся путем подстановки функции ( ) (6.20) в уравнение (6.17). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получают рекуррентное соотношение для коэффициентов a

Это соотношение позволяет последовательно определить все коэффициенты a через коэффициент a0 , значение которого находится из условия нормировки функции ( ) .

При больших значениях индекса коэффициенты a , определяемые из

рекуррентного соотношения (6.21), задают бесконечный степенной ряд

a , который ведет себя как e2 . Вследствие этого функция ( ) (6.20)

0

будет расти, стремясь к бесконечности при . Однако физические соображения требуют, чтобы она всегда была конечной и не обращалась в бесконечность. Поэтому степенной ряд в (6.20) должен быть оборван. Если ряд заканчивается на члене с nr , то условие его обрыва, согласно (6.21), сводится к требованию равенства

(nr l 1) Zя 0 .

Это равенство можно переписать, учитывая введенное ранее определение величины , следующим образом

радиальным квантовым числом nr , равным числу узлов функции ( ) (если исключить из рассмотрения узел 0 ), и с орбитальным квантовым числом l . Поскольку каждое из чисел nr и l принимает значения 0, 1, 2, … , главное

квантовое число n будет целым и положительным числом, начинающим с единицы: n = 1, 2, 3, … .

Таким образом, принимая во внимание (6.15), приходим к выводу, что конечные решения ( ) уравнения (6.17) существуют только при следующих

дискретных значениях энергии электрона в водородободобном атоме

которые определяются главным квантовым числом n . Отметим, что данная формула была получена впервые Н. Бором в 1913 г., еще до создания квантовой механики. На рис. 6.1 схематично показаны три энергетических уровня для значений энергии E1 , E2 и E3 .

Оборванный на nr-м члене степенной ряд в (6.20) с коэффициентами, рассчитанными по формуле (6.21), является полиномом, который называется

обобщенным полиномом Лагерра Lsk ( ) . Эти полиномы определяются по формуле

т. е. выражаются через производные многочленов Лагерра Lk ( )

Lk ( ) e d kk (e k ) . d

Например, L11() 1, L12 () 4(1 / 2) , L33 () 6 и т. д.

Следовательно, обобщенный полином Лагерра Lsk ( ) характеризует поведение функции ( ) , определив которую, затем находят радиальную функцию Rn,l (r) . Эта функция зависит от главного квантового числа n и орбитального квантового числа l. Функция Rn,l (r) , нормированная условием

Rn ,l (r)Rn,l (r)r2dr = n n l l ,

0

представляется следующим аналитическим выражением

В качестве примера напишем явный вид радиальных функций для двух первых значений главного квантового числа n:

функции E ( r , , ) стационарных состояний безспинового электрона в

кулоновском поле ядра водородоподобного атома, имеющих вид произведения Rn,l (r) и Yl,ml ( ,)

Функции n,l,ml ( r , , ), называемые иногда атомными орбиталями или

просто орбиталями, характеризуются тремя квантовыми числами: n, l и ml. Орбитали описывают состояния, являющиеся, как было сказано ранее,

собственными состояниями трех наблюдаемых величин: полной энергии Еn,

квадрата ll2 орбитального момента l и его проекции lz на направление оси Z, которые могут быть измерены одновременно.