КВАНТЫ билеты / 5. Представления векторов и операторов

Представления векторов и операторов

При рассмотрении многих задач квантовой механики удобно перейти от абстрактных величин: векторов и операторов, к их представителям, записанным в определенном представлении. Переход к представителям означает, что векторы и операторы записываются через соответствующие наборы чисел. Под представителями понимаются совокупности компонент (координат, проекций) для векторов и матричных элементов для операторов.

Для того чтобы записать векторы и операторы в форме их представителей, необходимо выбрать базис в пространстве (другими словами выбрать представление). Этот выбор, в общем-то, произволен. Однако на практике он зависит от решаемой задачи и осуществляется так, чтобы максимально упростить вычисления. Поэтому в качестве базиса, как

правило, используют собственные векторы некоторого эрмитова оператора ˆ

L

, поскольку, как говорилось выше, эти векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали систему линейно-независимых ортонормированных векторов. Тогда расчеты облегчаются.

Вначале рассмотрим дискретное представление. Считаем, что эрмитов

оператор ˆ имеет n собственных векторов 1 , …, n , образующих

L l l

дискретный набор. Любой кет-вектор g , принадлежащий гильбертову пространству n, можно однозначно записать через линейную комбинацию базисных векторов li в соответствии с (1.3)

где коэффициенты g1, g2, … являются комплексными числами, представляющими собой координаты вектора g относительно базиса l1 ,

Это равенство нетрудно получить. Для этого надо спроектировать левую и правую части разложения (1.19) на один из кет-векторов li и учесть, что

оператора ˆ и называется соотношением замкнутости (или условием

I

полноты базиса li ).

Отметим, что выражения (1.17) и (1.21) являются определяющими условиями того, что векторный базис дискретный, ортонормированный и

матрицу-строку (матрица с одной строкой и множеством столбцов) g g *1 g n* .

т.е. скалярное произведение выражается через сумму произведений представителей fi* и gi соответственно бра-вектора f и кет-вектора g . С

математической точки зрения происходит умножение матрицы-строки на матрицу-столбец, в результате чего получается число.

Спроектируем кет-вектор левой части и равный ему вектор правой части на

собственный кет-вектор i оператора ˆ l L

элементами и зависят от двух индексов i и j. Первый индекс указывает номер строки матрицы, второй – номер столбца.

диагональным матричным элементом, так как расположен по диагонали матрицы.

Сумма диагональных элементов Gii матрицы называется ее следом (или шпуром) и обозначается символами Sp (или Tr):

диагональная матрица (только диагональные элементы такой матрицы не равны нулю, все остальные элементы нулевые), так как

ij i ˆ j j ij .

L l L l l

Путем проектирования правой и левой части разложения (1.28) на кет-

Действительно в проекциях на кет-вектор l разложение (1.28) запишется так

g (l ) -функции.

a

Здесь, в отличие от (1.21), сумма заменена интегралом. Это соотношение, как и (1.21) называется соотношением замкнутости. Выражения (1.18) и (1.30)

есть основное условие непрерывности и полноты векторного базиса. К тому же этот базис будет нормированным на –функцию.

Следовательно, представителем бра-вектора g в непрерывном базисе является набор всевозможных значений функции *g (l ) g l .

сопоставляется непрерывное и бесконечное множество чисел, которые в базисе l записываются в виде

a

В результате действие оператора на кет-вектор запишется в интегральной форме

b

G( , ) f (l )d h (l ) .

а

Отсюда следует, что в непрерывном базисе l представителем оператора

ˆ является функция двух аргументов, которая называется ядром

G G( , )

оператора. По аналогии с матричным представлением оператора в дискретном базисе, G( , ) можно рассматривать как матричные элементы

«непрерывной бесконечномерной» матрицы.

Интересно отметить, что ядро единичного оператора ˆ , записанного в

I

интегральной форме, равно дельта-функции Дирака:

a