КВАНТЫ билеты / 17. Принцип тождественности частиц

Принцип тождественности частиц: бозоны и фермионы

Рассмотрим физическую систему, состоящую из одинаковых частиц. Частицы называются одинаковыми, если их физические свойства в точности совпадают, так что в равных условиях (например, наличие или отсутствие внешнего поля) такие частицы ведут себя одинаково.

В классической механике описание движения совокупности частиц с одинаковыми физическими параметрами (массой, зарядом и т. д.) не вызывает сложностей, поскольку сводится к определению траектории движения каждой отдельной частицы с заданными начальными условиями. При этом в ходе эволюции такой системы можно проследить за изменением физического состояния любой отдельной частицы. Например, на рис.8.1 для трех одинаковых частиц с массами m показана зависимость их обобщенных координат q от времени t.

Отличная от изложенной выше ситуации, причем координальным образом, существует в квантовой механике. Трудности в описании движения одинаковых микрочастиц возникают из-за присущего им корпускулярно-волнового дуализма, вследствие которого понятие траектории в общепринятом смысле этого слова отсутствует. Состояние коллектива одинаковых микрочастиц описывается общим вектором состояния (или волновой функцией, если рассматривается, например, координатное представление). В

этом случае нет никакой возможности определить точное состояние каждой из этих частиц в отдельности и тем самым различать их. Одинаковые частицы теряют свою индивидуальность, что приводит к их полной неразличимости или, другими словами, тождественности.

Рассмотрим простую квантовую систему, состоящую из двух тождественных частиц под номерами 1 и 2, которая находится в

стационарном состоянии. Эту систему характеризует гамильтониан ˆ 1 2

H ( , ) , где (r, s) обозначает совокупность пространственных r и спиновых s

координат конкретной частицы (рис. 8.2). Явный вид оператора ˆ 1 2

H ( , )

пока не важен. Считаем, что чистое стационарное состояние системы

В силу тождественности частиц оператор

в перестановке координат (пространственных и спиновых) 1-й и 2-й частиц

(рис. 8.2)

собственные значения 21 оператора перестановки ˆ21 будут интегралами p P

движения, а его собственные функции совпадать с собственными функциями

ˆ

H ( 1, 2 ) .

Опираясь на правило коммутации (8.4), установим важное свойство( 1, 2 ) -функции системы тождественных частиц. Для этого подействуем

Сопоставляя полученное уравнение с исходным (8.1) и принимая во внимание (8.3) видим, что если функция ( 1, 2 ) является решением

уравнения (8.1), то и ( 2 , 1) есть решение этого уравнения. Значит,

Данный результат можно сформулировать в виде принципа тождественности: в коллективе одинаковых частиц реализуются только такие состояния, которые не меняются при перестановке частиц.

Из принципа тождественности частиц (8.5) вытекает, что ( 1, 2 ) -

функция системы при перестановке частиц определяется с точностью до некоторого множителя (обозначим его p21 ) модуль, которого равен единице

Данное равенство можно записать с помощью оператора перестановки ˆ21 , в

P

виде уравнения на собственные функции и собственные значения

Следовательно, согласно принципу тождественности, функции ( 1, 2 ) , описывающие состояние системы одинаковых частиц, являются

собственными функциями оператора ˆ21 .

P

Подействовав на уравнение (8.7) еще раз оператором ˆ21 , получим для

P

его левой части

и для правой части

Этим двум собственным значениям соответствуют две собственные функции, которые обозначим s ( 1, 2 ) и a ( 1, 2 ) :

Таким образом, из принципа тождественности частиц следует, что в системе двух одинаковых частиц возможны лишь два типа стационарных

состояний. Один тип описывается функциями s ( 1, 2 ) , которые при

перестановке координат частиц не меняются (8.8а). Они называются симметричными функциями. Другой тип состояний характеризуют

противоположный (8.8б). Эти функции называются антисимметричными. Решения ( 1, 2 ) уравнения (8.1) могут как обладать определенной

симметрией, так и не обладать ей. Однако из этих функций нетрудно составить нормированные двухчастичные функции требуемой симметрии

которые также будут решениями уравнения (8.1) и соответствовать одной и той же полной энергии Е системы. И именно из этих решений (8.9) выбирается правильное.

Полученные выше результаты можно применять и к системам, состоящим из произвольного числа тождественных частиц. При этом с процессом описания состояний таких систем -функциями, которые будут отличаться верхними индексами s и a, связан еще один дополнительный постулат квантовой механики.

Постулат 5 (о симметризации): волновая функция для всех чистых состояний системы тождественных частиц должна иметь одинаковую

симметрию относительно перестановки частиц либо симметричную s , либо антисимметричную a .

Выбор типа симметрии функции состояний определяется только природой частиц по следующему эмпирическому правилу: состояния

частиц с целым спином (подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна)

описываются симметричными функциями s , а частиц с полуцелым

спином (подчиняются статистике Ферми – Дирака) описываются

антисимметричными функциями a . Первые называются бозонами, а

вторые – фермионами. К бозонам относятся фотоны, -мезоны и т.д., фермионами являются нуклоны (протоны и нейтроны), электроны, нейтрино,-мезоны и т.д.