КВАНТЫ билеты / 16. Вариационный метод

ˆ

ˆ

H . Для упрощения дальнейших рассуждений считаем, что спектр

H не

вырожден и дискретен. Следовательно, необходимо решить уравнение

ˆ

En

= En

En

(7.59)

H

на собственные векторы

En

ˆ

и собственные значения En гамильтониана H .

Если при

отыскании

En

и

En

процедура диагонализации

гамильтониана

ˆ

причинам

затруднительна или

нельзя

H по каким-либо

ˆ

ˆ

использовать стационарную теорию возмущений (например, когда V

~ H 0 ),

экстремума среднего значения E g

ˆ

g

оператора H в состоянии

E g = g

ˆ

g

, где

g

g 1 ,

H

как

функционала

от вектора состояния

g . Обозначим

функционал

посредством E

g

. Напомним, что под функционалом понимают некоторое

правило, сопоставляющее множеству векторов

g числовое множество

E

g .

E

g

имеет экстремальные значения, когда его вариация

g

E

g

=

E

g g E

,

E

g

E

g

=

g ,

g

равна нулю.

В этой связи условие на экстремум функционала

E

g будет

аналогично вариационному уравнению

E

g = 0 .

(7.60)

функционала E

g( , , ...)

E

g( , , ...)

=

g( , , ...)

ˆ

g( , , ...) = E( , , ...) .

(7.61)

H

При этом

E

g( , , ...)

сводится

к

обычной функции

E( , , ...) ,

E

g( , , ...)

. Поиск сводится

к

отысканию

первых производных по

параметрам , , ... от функции

E( , , ...) ,

т.

е. к решению

системы

алгебраических уравнений

E( , , ...)

E( , , ...)

…= 0 .

(7.62)

определяет

решение

g( , , ...)

уравнения

(7.60) и

величину

E

g( , ,

...) . Причем

вектор

g( , , ...)

приближенно

отвечает

собственному вектору

E

оператора

ˆ

g( , , ...)

с более

H , а величина E

n

лучшей точностью – его собственному значению En .

Для энергии E0 основного состояния выполняется неравенство

E

0

E

g( , , ...) .

Равенство имеет место

только в том

случае,

когда

g( , , ...) является

собственным вектором

E0

оператора Гамильтона

ˆ

H соответствующем

собственному значению E0

E

E

= E

= E

ˆ

E

= E

.

H

0

Е0

0

0

0

En =

0

ˆ

0

+

0

ˆ

0

0

En | H0

| En

En

V

En

= En +Vnn ,

эквивалентны

вычислениям

вариационным методом с пробным вектором

0

ˆ

0

En ( , ,...) , имеющим вид собственного вектора

En

оператора H0 .

Для иллюстрации применения вариационного метода рассмотрим

одномерный гармонический осциллятор

(см.

п. 4.3). Для него

оператор

ˆ

ˆ

Гамильтона H

= H0 , записанный в координатном представлении, имеет вид

ˆ ( x)

2

d 2

m 2 xˆ

2

.

(7.63)

H

2m dx2

2

Поставим

задачу

по

определению

полной

энергии Е0

основного

обращаться в нуль при стремлении x

к бесконечности: x ,

во-вторых,

ˆ

должна быть четной, поскольку оператор H является четным, в-третьих, не

должна иметь узлов.

Перечисленным требованиям

удовлетворяет следующая

функция

0 (x, ) , зависящая от одного параметра

0

(x, ) Ce x2 /2 , 0 .

(7.64)

Из условия ее нормировки

0 (x, )

2 dx C2 e x2 dx 1

определяется множитель

1/4

C

.

1

2

m 2

1

E 0 (x, ) =

ˆ

(x, )dx

= E( ) . (7.65)

0 (x, )H 0

2

2m

2

Следовательно, функционал E 0 (x, ) от функции

0 (x, ) приобретает

вид функции E( ) от параметра . Поэтому задача состоит в определении

минимума этой функции. Первая производная функции E( )

по

обращается в нуль, когда =

=

m

.

Подставляя это значение в (7.65), находят энергию E0

основного состояния

.

(7.66)

E0 = E( ) =

2

m 1/ 4

m x2

/ 2

0 (x) 0 (x, )

e

.

(7.67)

Отметим, что из-за простоты рассмотренной задачи полученные

вариационным методом значения энергии

E0

основного состояния и вид