Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КВАНТЫ билеты / 5. Орбитальный момент и сферические функции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

499.58 Кб

Скачать

☆

Орбитальный момент и сферические функции

В квантовой механике орбитальный момент количества движения l

частицы – это угловой момент, связанный с движением в пространстве ее центра массы. Классическим аналогом является момент импульса, который

записывается через векторное произведение радиус-вектора r , проведенного

из начала координат к частице, на ее импульс p

							(5.31)
				l	= [r p] .		(5.31)

Момент импульса l		является псевдовектором (аксиальным вектором), так
как не меняет знака			при	одновременной замене истинных			(полярных)
		–
векторов r	и p на	–	r и	– p . Этой величине сопоставляется оператор
орбитального момента
					ˆ	ˆ
				ˆ	ˆ	ˆ
				l			(5.32)
				l	= [r	p] .	(5.32)

Согласно определению векторного произведения, получаем следующие

выражения для операторов декартовых компонент lˆx , lˆy и lˆz орбитального

момента l

lˆx ypˆ ˆ z zpˆˆ y

lˆy zpˆˆ x xpˆˆ z

(5.33а)

ˆˆ

ˆ ˆ

xpy

ypx

или используя тензор Леви-Чивиты

, , x, y, z или 1,2,3.

(5.33б)

l r p ,

Из

коммутационных

соотношений

(2.11),

которым

подчиняются

операторы компонент rˆ и

pˆ

соответственно радиус-вектора r

и импульса

[rˆ , pˆ ] i ,

а также

определения (5.33)

следуют правила

коммутации

операторов

компонент lˆ орбитального момента l

с операторами rˆ

и pˆ

. В тензорном

виде они записываются следующим образом:


[lˆ	, rˆ	] i		rˆ		,		(5.34а)

[lˆ	, pˆ		] i		pˆ		.	(5.34б)

Опираясь на эти коммутационные соотношения, несложно найти правила перестановки для некоммутирующих друг с другом операторов

компонент момента lˆ

	[lˆ	,lˆ ] i				lˆ			,	(5.35)

которые уже были записаны в п. 5.1.
ˆ2
ˆ2	орбитального момента l
Оператор квадрата l	орбитального момента l
	ˆ2	ˆ2		ˆ2		ˆ		2		(5.36)
	l	l	x	l	y	l	z			(5.36)
			x		y		z

в силу соотношений (5.35) коммутирует с каждым оператором проекции момента lˆx , lˆy и lˆz

ˆ2	ˆ	(5.37)
[l	,l ] 0 .	(5.37)

Отметим несколько важных свойств операторов lˆ и lˆ2 для квантовых

систем, находящихся в центрально симметричном поле. Для этого рассмотрим

нерелятивистскую частицу, движущуюся в указанном поле. Гамильтониан ˆ

этой системы имеет простой вид

ˆ	3	pˆ 2
ˆ
H		2m	U (rˆ) .	(5.38)
	1	2m

Не представляет особых трудностей показать, что данный оператор ˆ

коммутирует с операторами lˆ и lˆ2 :

ˆ	ˆ		0 ,	(5.39)
[H ,l ]
ˆ	ˆ2	] 0 .		(5.40)
[H ,l
Следовательно, в центрально симметричном силовом поле проекции l x ,
			квадрат его длины l 2
l y и lz орбитального момента l	и			являются

интегралами движения. Это, во-первых. Во-вторых, поскольку операторы ˆ ,

ˆ2	ˆ
l	и l коммутируют друг с другом, они имеют общую систему собственных
кет-векторов		(или собственных	-функций),		а это означает, что			полная
энергия системы Е, квадрат длины l 2 и одна из проекций l
энергия системы Е, квадрат длины l 2 и одна из проекций l							вектора l	могут
быть одновременно измерены. В качестве такой проекции выберем,								как и
раньше, z-ю проекцию.
	Теперь найдем спектр операторов z-й				проекции	ˆ		ˆ2
	Теперь найдем спектр операторов z-й				проекции	lz	и квадрата l

орбитального		момента l .	Это	удобно	сделать	в	координатном
представлении. В нем вид операторов координаты r(r) = r						и импульса p(r)
i определяется соответственно				формулами (2.30)		и	(2.43), поэтому
	r
орбитальный момент l (r) запишется следующим образом
		l (r)
		l (r)	= i [r ] .

В дальнейшем стоящий около операторов индекс r , который обозначает координатное представление, опустим.

Для операторов декартовых компонент lˆx , lˆy и lˆz получаем

lˆx i

lˆy i

(5.41а)

lˆz i

или в компактной форме

lˆ i

, , x, y, z или 1,2,3.

(5.41б)

Запишем уравнения на собственные функции (r) и собственные

значения для выбранных операторов:

lˆ

(5.42а)

(r) = l

(r) ,

ˆ2

(r) = l

(r) .

(5.42б)

Решать поставленную задачу, т. е.

искать

решения

уравнений

(5.42)

наиболее удобно в сферической системе

координат ( r , , ).

В ней, как покажем

Рис. 5.4

позднее, операторы lˆz и lˆ2 зависят только от угловых переменных и , а

значит и действовать будут лишь на ту часть -функции, которая зависит от этих углов.

Напомним, что в сферической системе координат (рис. 5.4), полярное направление которой совпадает с декартовой координатной осью Z,

положение пространственной точки М задается тремя величинами: радиусом

r , полярным углом (угол между осью Z и радиус-вектором : 0 ) и r

азимутальным углом (угол, отсчитываемый в плоскости XY: 0 2 ). Переход от декартовых координат (x, y, z) к сферическим ( r , , )

осуществляется с помощью преобразований:

x r sin cos ,y r sin sin ,

z r cos .

Не сложное, но достаточно громоздкое преобразование формул (5.41) и (5.36) позволяет найти вид операторов lˆz и lˆ2 в сферических координатах:

lˆ i

(5.43)

lˆ2 2 , ,

где , – это угловая часть оператора Лапласа

	1		1		2
,		sin				.
	sin		sin 2	2

(5.44)

(5.45)

Следовательно, уравнения (5.42) сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных

i	(r, , ) lz (r, , )	,	(5.46)

2	,	(r, , ) l 2	(r, , ) .	(5.47)
	,	l

В этих уравнениях переменная r не входит ни в один из дифференциальных операторов lˆz и lˆ2 , поэтому ее можно рассматривать как параметр, а-функцию записать в виде произведения

(r, , ) = Rr Y ( , ) ,

где символом Y ( , ) обозначена часть -функции, зависящая от углов и.

Обратимся вначале к уравнению (5.46). В этом уравнении на - функцию действует зависящий только от угла оператор lˆz , поэтому угол можно рассматривать как параметр, а функцию Y ( , ) записать в виде

Y ( , ) = Ф(φ) .

Подставляя это произведение в уравнение (5.46), находим зависящее от угла φ решение

	l	z
Ф(φ) = С exp i		z	.	(5.48)
Ф(φ) = С exp i			.	(5.48)

Из вида этой функции следует, что для ее однозначности она должна быть периодической с периодом 2π: Ф( ) = Ф( 2 ) . Это условие выполняется,

когда отношение lz / , которое обозначим через ml , будет принимать целые

значения, такие как 0, ±1, ±2, … , ±l. Число ml называют магнитным орбитальным квантовым числом, а l – орбитальным квантовым числом.

Заметим, что коль скоро число ml целое, то и число l должно быть целым. Таким образом, получен результат, согласно которому квантовое число

ml	определяет каждое из (2l +1) собственных значения lz оператора lˆz
	lz ml		,		ml	0, ±1, ±2, … , ±l ,				(5.49)
а значит спектр оператора			lˆz		дискретный. Этот результат находится в
согласии с общей теорией, изложенной в п. 5.1.
	Соответствующие значениям lz					собственные функции (5.48) оператора
lˆz ,	будем нумеровать индексом ml. Функции Ф m ( ) с учетом									условия
									l
нормировки
	2
	Ф *ml		( ) Ф ml ( ) d = ml ml
	0
имеют вид

	Ф				( )		1	eiml .		(5.50)
	Ф	m			( )			eiml .		(5.50)
		m		l			2
							2

	Уравнение (5.47) решается методом разделения переменных.
Подставляем в него функцию Y ( , )						в виде произведения

Y ( ,) = ( ) Ф(φ) .

После этого умножим все члены на множитель sin 2 / ( ) Ф(φ). Затем в

уравнении все члены, зависящие от переменной , перенесем в левую часть, а от переменной φ в правую часть. Тогда левая часть будет зависеть только от , а правая от φ.

sin

d()

d 2Ф( )

sin

Ф( )

( ) d

Такое равенство возможно, когда каждая из частей равна одной и той же постоянной величине. Обозначим ее через ml2 .

В результате получим два независимых уравнения, первое из которых – это уравнение для функции ( )

1 d		d( )	l 2		m 2
	sin			l	l	( ) 0	,	(5.51)
	sin			2		( ) 0	,	(5.51)
sin d		d		2	sin 2

второе – для функции Ф(φ)

d 2Ф() ml2Ф() 0 . d 2

Решения этого последнего дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами совпадают с функциями Ф ml ( ) (5.50),

которые были получены для уравнения (5.46).

Перейдем теперь к уравнению (5.51). При решении данного уравнения вместо независимой переменной удобно ввести cos ( 1 1), тогда

d	1	d	.
d
	sin d

После ряда преобразований уравнения (5.51) его можно представить в виде похожем на уравнение Лежандро

		d		2		d( )		l 2			m 2
			(1	2	)				l		l		(5.52)
			(1		)								(5.52)
						d				2	1	2
		d				d					1
Точки 1 и	1 являются						особыми				точками данного		уравнения,
поскольку в них функция				( ) не является конечной, что с физической

точки зрения не должно иметь место. Основываясь на теории уравнений математической физики можно показать, что особенностей в точках 1 не будет, если выполняется равенство

ll2 l(l 1) ,

где l – целое положительное число, названное ранее орбитальным квантовым числом. В этом случае уравнение (5.52) будет в точности совпадать с уравнением Лежандро.

		2	ˆ2
Итак, приходим к выводу, что собственные значения ll			оператора l
определяет квантовое число l
l 2 2l(l 1)	,	l 0, 1, 2, … .	(5.53)
l

При любом целом l уравнение (5.52) будет иметь зависящие от индексов l и ml конечные решения l,ml ( ) , которые представляют собой

а) многочлены (полиномы) Лежандро Pl ( ) степени l

P ( )	1	d l ( 2 1)l	,
P ( )			,
l	2l l!	d l
	2l l!	d l

если ml 0,

б) присоединенные функции Лежандро Plml ( ) степени l порядка ml

Plml ( ) (1 2 )ml / 2 d ml Pl ( ) , d ml

если ml 0.

Напишем для примера несколько полиномов Лежандро

0	1	2	2
P ( ) 1, P ( ) , P ( )			1	3 2	1	и т.д.,

а также присоединенных функций Лежандро

1	2				2		2				2		8
P1( )	3	1	2	1/2	, P1( )	15		1	2	1/2	, P2 ( )	15		1	2	.
P1( )		1	2		, P1( )			1	2		, P2 ( )			1	2	.

Yl,ml

В итоге получаем при l 0, 1, 2,		… и ml 0, 1, 2, …, l следующие
решения уравнения (5.47) с точностью до постоянного множителя С:
Y	( , ) = С Pml	(cos ) Ф	( ) ,
l,ml	l		ml

которые будут зависеть не только от переменных и , но и от квантовых чисел l и ml . Для отрицательных значений ml –1, –2, …, –l функции

( , ) находятся из соотношения

Yl, ml ( , ) = ( 1)ml Yl*,ml ( , ) .

Функции Yl,ml ( , ) называются сферическими функциями (шаровыми функциями, сферическими гармониками). Они, в общем случае, являются

комплексными функциями.

Функции

Yl,ml ( , ) – это общие собственные

ˆ2

соответствующие их собственным значениям lz

функции операторов lz

и l

(5.49) и

ll2 (5.53).

Если функции Yl,ml

( , ) удовлетворяют условию нормировки

Y *

( , )Y

( , )sin d d

l,m

l ,m

ml ml

то их явный вид при ml

0 можно найти по формуле

( , ) il

2l 1

(l ml )!

Pml (cos )eiml .

(5.54)

l,m

(l ml )!

Для примера запишем сферические гармоники для двух первых

значений орбитального квантового числа l:

Y0,0 ( , )

( , ) i

cos ,

1,0

( , ) i

sin e i .

1, 1

Сферические функции образуют ортонормированный базис на сфере, поэтому для них можно записать соотношение замкнутости

	l
Yl,m			( , )Yl*,m	( , ) (cos cos ) ( ) .
l 0 ml l		l	l
l 0 ml l

Любая квадратично интегрируемая функция f ( , ) углов и может быть единственным образом разложена по сферическим гармоникам:

	l
f ( , ) cl,m		Y	( , ) ,
	l	l,m
l 0 ml l		l
l 0 ml l

где

2
cl,ml	Yl*,m	( , ) f ( , )sin d d .
	l
0	0

Соседние файлы в папке КВАНТЫ билеты

#
23.02.2015401.56 Кб912. Движение частицы в периодическом поле.pdf
#
23.02.2015300.59 Кб713. Линейные однородные операторы.pdf
#
23.02.2015470.54 Кб773. Общие свойства оператора углового момента.pdf
#
23.02.2015450.39 Кб734. Векторное сложение двух моментов.pdf
#
23.02.2015297.78 Кб784. Собственные векторы и собственные значения оператора.pdf
#
23.02.2015499.58 Кб825. Орбитальный момент и сферические функции.pdf
#
23.02.2015475.4 Кб705. Представления векторов и операторов.pdf
#
23.02.2015272.61 Кб686. Изменение представления.pdf
#
23.02.2015331.96 Кб727. Полный угловой момент.pdf
#
23.02.2015426.6 Кб727. Постулаты квантовой механики.pdf
#
23.02.2015376.93 Кб828. Особенности движения частицы в поле центральных сил.pdf