Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КВАНТЫ билеты / 3. Общие свойства оператора углового момента

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

470.54 Кб

Скачать

☆

Общие свойства оператора углового момента

Момент	количества		движения			является векторной			величиной и
Момент	количества		движения		J	является векторной			величиной и
относится к	наблюдаемым			величинам,			поэтому	ему	соответствует

		ˆ						J y и J z вектора J на
эрмитовый оператор J . В свою очередь, проекциям J x ,								J y и J z вектора J на
декартовые координатные оси X, Y и Z также сопоставляются эрмитовые
операторы	ˆ	ˆ	и	ˆ					удовлетворяют
операторы	J x ,	J y	и	J z , соответственно. Они					удовлетворяют

перестановочным соотношениям
	ˆ	ˆ	ˆ
[J x , J y ] i J				z
				z
	ˆ	ˆ	ˆ
[J y , J z ] i J				x
				x
	ˆ	ˆ	ˆ
[J z , J x ] i J				y
				y

(5.1а)

ˆ	ˆ	ˆ	некоммутативны.
Значит операторы декартовых проекций J x ,	J y	и J z	некоммутативны.

Выполнение соотношений (5.1а) будет проверено в п.5.3 на примере орбитального момента.

Если ввести тензор Леви-Чивиты (антисимметричный единичный тензор третьего ранга), компоненты которого равны

	0,	если два индекса равны ,
	1,	если , , образуют циклическую перестановку из 1, 2,3 ,
=	1,	если , , образуют циклическую перестановку из 1, 2,3 ,
	1,	если , , образуют не циклическую перестановку из 1, 2,3 ,
	1,	если , , образуют не циклическую перестановку из 1, 2,3 ,

где , , x, y, z (или 1,2,3),

то соотношения (5.1а) можно записать в компактной форме

ˆ	ˆ	3	ˆ	ˆ
					(5.1б)
[J	, J	] i J		i J .

Вправой части этого выражения считается, что по дважды повторяющемуся

индексу выполняется суммирование от 1 до 3.

	ˆ 2
			абсолютной величины вектора			J
Введем оператор квадрата J
ˆ 2			ˆ 2	ˆ 2	ˆ 2
	ˆ	ˆ				(5.2)
J	( J	J ) J x		J y	J z .

Следствием коммутационных соотношений (5.1) являются другие соотношения:

ˆ 2

0 ,

(5.3)

, J x

] 0 , [J

, J y ] 0

, J z ]

ˆ 2

коммутирует с каждым из операторов

т. е. оператор квадрата момента J

проекции J x ,

J y

и J z .

Из

перестановочных соотношений

(5.1)

(5.3)

следует,

что

одновременно могут быть измерены только квадрат J 2 углового момента J

и любая

его

декартовая

компонента

( J x ,

или

J y ,

или

J z ). Возьмем в

качестве таковой z-ю компоненту J z .

ˆ 2

Тогда для двух операторов J

и J z ,

которые характеризуют векторный оператор

J , существует общая система

собственных кет-векторов. Для идентификации этих векторов будем

использовать символ кет-вектора с двумя буквами:

J , M ,

где J и М – это

квантовые числа. Как

увидим позднее,

число J

определяет собственное

значение оператора

момента

, которое равно квадрату длины | J |

J , а

число М – собственное значение оператора J z , равное проекции J z вектора

J на координатную ось Z.

Уравнения

на

собственные

векторы и

собственные

значения

двух

ˆ 2

запишем в виде

операторов J

J z

ˆ 2

J , M

(5.4)

= J J

J , M

= J z

J , M .

(5.5)

J z

Рассмотрим сейчас вопросы о том, какие численные значения могут принимать квантовые числа J и М в этих уравнениях, а также каков характер

	ˆ 2	и	ˆ
спектров операторов J		и	J z . Ответы на эти вопросы можно получить,
опираясь лишь на коммутационные соотношения.
						ˆ	ˆ	будем использовать их
Начнем с того, что вместо операторов J x и J y								будем использовать их
линейные комбинации
			ˆ	ˆ	ˆ		,
			J	J x	iJ y		,		(5.6)
			ˆ	ˆ	ˆ		.		(5.6)
			J	J x	iJ	y	.
						y
ˆ	называется		оператором		повышения,			ˆ	– оператором
Оператор J	называется		оператором		повышения,			а J	– оператором

понижения. Эти операторы эрмитово сопряжены друг другу, поэтому не эрмитовы.

Отметим,

что

векторный

оператор

можно

также характеризовать

как

не

трудно

показать,

тремя операторами J ,

J z , которые,

удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

(5.7)

, J

] 2 J z

[J z , J

] J

, [J z , J ] J .

В качестве примера, проверим первое из

этих

соотношений.

Чтобы это

сделать, выразим каждое из операторных произведений J

J и

J через

ˆ 2

операторы J

J z , учитывая (5.6), а также (5.1) и (5.2):

ˆ 2

(5.8а)

J z

J z ,

ˆ 2

(5.8б)

J z

J z .

Вычитая (5.8б) из (5.8а), приходим к первому из соотношений (5.7). Если сложить почленно (5.8а) и (5.8б), то получится выражение

ˆ 2

J ) J z

(5.9)

ˆ 2

устанавливающее связь между J

и тремя операторами J ,

J ,

J z .

Помимо (5.7), справедливыми являются и такие равенства

ˆ 2

0 .

, J ] 0 ,

, J ]

Теперь найдем

результаты

действий

операторов

на

собственный кет-вектор

J , M

оператора J z . Для этого вначале подействуем

на кет-вектор

J , M . Учитывая второе из

операторным произведением J z J

коммутационных соотношений (5.7), запишем

J , M

J , M .

J z

J , M J J z

Если в уравнении (5.5) собственные

будут

значения оператора J z

определяться квантовым числом М согласно правилу

J z

M ,

(5.10)

тогда получаем

J , M ) .

J z (J

J , M ) (M 1)(J

Это уравнение означает,

на собственный кет-

что действие оператора J

вектор

приводит

точностью

до нормировочной

J , M оператора J z

постоянной к другому его собственному

вектору

J , M 1 ,

который

соответствует собственному значению (M 1)

J , M

1 .

J , M

Если подействовать

произведением

на

кет-вектор

J , M , то

J z J

придем к выводу о том,

J , M

будет собственным вектором

что вектор J

J , M 1

(M 1)

оператора J z , соответствующим собственному значению

J , M 1 .

J , M


	ˆ			J , M , изменяют
	ˆ
Таким образом, операторы J , действуя на кет-вектор
квантовое число М на 1,	оставляя		квантовое число		J неизменным.
Квантовое число М, определяющее собственные значения					ˆ
Квантовое число М, определяющее собственные значения					оператора J z ,
принимает отличающиеся на единицу значения. А поскольку
ˆ 2	ˆ 2	ˆ 2	ˆ 2
J	J z	= J x	J y ,

то для диагональных элементов матриц данных операторов, записанных в базисе кет-векторов J , M , имеем

J , M

ˆ 2

J , M

ˆ 2

J , M 0 .

J z

= J J J z = J , M

J x

J y

Значит J 2

J 2 . Поэтому, учитывая (5.10),

можно констатировать, что при

фиксированном J J2 число М может быть как

положительным, так и

отрицательным, при этом оно ограничено и снизу и сверху

J Mmin M Mmax J .

Количество значений квантового числа М, находящихся между

наибольшим Мmax

и наименьшим Мmin

и отличающихся на 1, равно 2J +1.

Это количество должно быть положительным и целым числом, поэтому значения квантового числа J могут быть либо положительными целыми числами

J 0, 1, 2, 3, … ,

либо полуцелыми

J 1/2, 3/2, 5/2, … .

Из сказанного выше следует, что спектр оператора

дискретный,

J z

причем

имеется всего

2J 1 собственных значений

отличающихся

на

постоянную .

Если кет-векторы

J , M

брать ортонормированными

J , M

то действие операторов повышения

на эти векторы

J и понижения J

J , M будет определяться формулами

J , M

J (J 1) M (M

J , M 1

(5.11а)

J , M

J (J 1) M (M

J , M 1

(5.11б)

Здесь

необходимо

сделать

одно

замечание.

Последовательным

действием

оператора повышения

на

собственный

кет-вектор

J , J

можно получить все остальные собственные векторы вплоть до

оператора J z

вектора

J , J

, описывающего состояние

максимальной

положительной

проекцией вектора J на ось Z.

ˆ 2

Вычислим значения диагональных матричных элементов оператора J

базисе его собственных векторов

J , M , учитывая (5.9) и (5.11):

ˆ 2

J , M

= J , M

J J

) J z

J , M =

2[J (J 1) M 2 M J (J 1) M 2

M ] 2M 2 2 J (J 1) .

Таким образом, собственные значения

оператора

находятся

по

J J

формуле

J 2 = 2 J (J 1)

(5.12)

и образуют дискретный спектр. Из этого равенства следует, что абсолютная

величина | J | момента количества движения J (длина вектора J ), равная значению J J , может быть вычислена по формуле


\| J \| = J J	J (J 1) .	(5.13)


Квантование длины \| J \| и z-й проекции	J z	углового момента	J	,

выражаемое соответственно формулами (5.13) и (5.10), называется

пространственным квантованием. Из квантования проекции J z

следует, что

вектор

отклоняется от выделенной

оси Z не

произвольным образом, а только на определенные

углы α

cos

J z

(5.14)

| J |

J (J 1)

На рис. 5.1

схематично показаны возможные

при J 2 .

проекции на ось Z момента J

Отметим, что если известно значение проекции

J z ,

то

из-за

некоммутативности

операторов

Рис. 5.1

проекций

значения других проекций:

J x ,

J y

J z

J x

J y ,

не

определены.

этом случае следует

говорить

только об

ориентации вектора

J относительно оси Z. Наглядно это можно представить

следующим образом. Вектор

как бы прецессирует вокруг оси Z (рис. 5.1)

по поверхности конуса с углом раствора, равным α.

Причем,

если

вычислить

средние значения

J x J , M

J y J , M

в состояниях, описываемых векторами

J , M ,

то они

операторов J x

J y

окажутся равными нулю. Это несложно показать, используя соотношения

(5.1) и уравнение ˆz = .

J J , M M J , M

Соседние файлы в папке КВАНТЫ билеты

#
23.02.2015535.05 Кб7217.Простейшие приложения стационарной теории возмущений.pdf
#
23.02.2015359.65 Кб7218. Многочастичные функции для систем бозонов и фермионов.pdf
#
23.02.2015330.43 Кб852. Абстрактное гильбертово пространство.pdf
#
23.02.2015401.56 Кб912. Движение частицы в периодическом поле.pdf
#
23.02.2015300.59 Кб713. Линейные однородные операторы.pdf
#
23.02.2015470.54 Кб773. Общие свойства оператора углового момента.pdf
#
23.02.2015450.39 Кб734. Векторное сложение двух моментов.pdf
#
23.02.2015297.78 Кб784. Собственные векторы и собственные значения оператора.pdf
#
23.02.2015499.58 Кб825. Орбитальный момент и сферические функции.pdf
#
23.02.2015475.4 Кб705. Представления векторов и операторов.pdf
#
23.02.2015272.61 Кб686. Изменение представления.pdf