КВАНТЫ билеты / 18. Многочастичные функции для систем бозонов и фермионов

Многочастичные функции для систем бозонов и фермионов

Рассмотрим систему из N тождественных микрочастиц, нумеруемых числами 1 2 3 … N. В такой системе возможны N! различных перестановок

частиц, каждой из которых можно сопоставить оператор перестановки ˆ ,

P

где α = (1 3 2…N или 2 1 4… N и т.д.). Перестановку, меняющую только две частицы, например, вторую и третью α = 1 3 2… N, называют транспозицией.

Любой оператор перестановки ˆ может быть представлен произведением

P

операторов транспозиций. Например, имеем циклическую перестановку трех

транспозициями. Перестановка называется четной, если составлена из четного числа транспозиций, и нечетной, если составлена из нечетного числа транспозиций.

Для описания стационарного состояния N -частичной системы, используется функция E ( 1, 2,..., N ) ( 1, 2,..., N ) , удовлетворяющая

стационарному уравнению Шредингера

при любой перестановке, то она называется симметричной и обозначается

где берется знак «+» при четной перестановке и знак «–» при нечетной перестановке.

Далее рассмотрим квантовую систему N независимых частиц. В этом случае считаем, что межчастичное взаимодействие отсутствует (пренебрегаем взаимодействием между частицами), а частицы двигаются

независимо друг от друга. Оператор Гамильтона ˆ такой системы равен

H

сумме одночастичных гамильтонианов ˆ ( i )

H

i 1

Для каждого оператора ˆ i справедливо уравнение

H ( )

квантовых чисел n, l, ml, ms для i-й частицы.

В рассматриваемом случае уравнение (8.10) эквивалентно системе N уравнений (8.13), каждое из которых записывается для i-й частицы. Полная

энергия Е системы, т. е. собственное значение оператора ˆ , выражается

H

через сумму собственных значений n операторов ˆ i i H ( )

E

N

E Eni ,

i 1

а собственная функция ( 1, 2 , N оператора ˆ (функция всей системы)

..., ) H

представляется в виде произведения или линейной комбинации