Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КВАНТЫ билеты / 3. Линейные однородные операторы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

300.59 Кб

Скачать

☆

Линейные однородные операторы

Математический аппарат квантовой механики базируется на использовании линейных однородных операторов в гильбертовом пространстве (о физических причинах этого см. п. 2.1).

Оператором ˆ , действующими из пространства X в пространство Y,

называется математическая операция, позволяющая сопоставить любому элементу (вектору, функции и т. п.) g X некоторый элемент f Y:

g f .

В случае, когда X и Y являются подпространствами единого линейного

			ˆ
пространства , говорят, что оператор L действует в этом пространстве. Для
			ˆ
символического обозначения такой операции, когда оператор L действует на
стоящий за ним кет-вектор	g , будем использовать следующую запись
		ˆ	g ,	(1.5а)
		ˆ
		f = L

т. е. действие оператора на кет-вектор осуществляется слева направо и сводится к преобразованию этого кет-вектора в новый.

ˆ			g	, то

Если оператор L действует на стоящий с ним бра-вектор
получается новый бра-вектор f	и	эта операция записывается	в виде

равенства
f	= g	ˆ	(1.5б)


		L ,

т. е. действие оператора на бра-вектор g происходит справа налево.

ˆ	, называется линейным
Оператор L , действующий в пространстве

однородным, если для любых векторов g и f из пространства и любого комплексного числа α выполняются соотношения:

ˆ	g	f	ˆ	g	ˆ	f (свойство аддитивности оператора),

L			L		L

т. е. результат преобразования суммы векторов равен сумме результатов преобразований каждого вектора;

ˆ	g	ˆ	g (свойство однородности оператора),

L		L

т. е. постоянную величину можно выносить за знак оператора.

Алгебра линейных однородных операторов.

ˆ	ˆ
Пусть L и	K – это линейные однородные операторы в пространстве .

ˆ	ˆ
1. Операторы L и	K считаются равными, если выполняется равенство
	ˆ	g	ˆ	g
	ˆ		ˆ
	L		K

для любого вектора g .

2. Суммой операторов L и

называется оператор L

K ,

действующий по правилу

g .

( L +

K )

= L

3. Произведением оператора L на число α называется оператор L ,

действующий по правилу

g .

( L)

4. Произведение операторов

обозначаемое

ˆ ˆ

и K ,

LK и являющееся

тоже оператором, определяется следующим образом

ˆ ˆ

g ) ,

g L(K

т. е. действие

произведения

ˆ ˆ

на

кет-вектор

заключается

последовательном

на

g , затем

оператора

на

действии оператора K

g .

вектор K

В общем случае произведение операторов некоммутативно, т. е. зависит

ˆ ˆ

от их порядка: LK

≠ KL .

Дадим определения некоторых классов операторов.

1. Оператор, который обозначается символом [L, K ] и определяется

равенством

ˆ ˆ

(1.6)

[L, K ] = LK – KL ,

называется коммутатором операторов L и K .

называется единичным, если переводит кет-вектор

g сам

2. Оператор I

в себя

g .

(1.7)

3. Оператор

ˆ 1

при условии

называется обратным для оператора L ,

выполнения равенства

ˆ ˆ 1

ˆ 1 ˆ

(1.8)

= L

L =

I .

4. Оператор

будет эрмитово сопряженным оператору

L , если для

него выполняется равенство

= (

f )

(1.9)

Его легко понять. Пусть для кет-векторов имеет место операция

g .

g = L

Тогда, учитывая (1.1) и (1.5б) для бра-векторов можем записать

g )

(1.10)

L .

Принимая это во внимание, левую и правую части (1.9) можно рассматривать как скалярные произведения кет-векторов

f L g

= f

g ) ,

( g

= ( g

f )

L )

g g

f * .

Теперь вспомним первое свойство скалярного произведения: f

Отметим ряд свойств сопряженных операторов.

а) (L )

L ;

;

б) ( L)

;

в) (L K )

ˆ ˆ

т. е. при сопряжении произведения

операторов

г) (LK )

K L

порядок перемножения сопряженных операторов меняется на обратный. Для примера докажем свойство под буквой а, используя (1.9):

= ( g

= ( f

g ) .

f ) =

(L )

является самосопряженным или эрмитовым, если он

5. Оператор L

совпадает со своим сопряженным оператором L

(1.11)

L = L .

Для эрмитова оператора справедливо равенство

f L g

6. Оператор ˆ называется

равенству

ˆ*

=( g L f ) .

антиэрмитовым, если он удовлетворяет

ˆ	(1.12)
= – L .

ˆ					ˆ 1
7. Оператор L называется унитарным, если обратный ему оператор L
ˆ
и сопряженный оператор L равны
ˆ 1		ˆ		,	(1.13а)
L	= L			,	(1.13а)
а, следовательно,
ˆ ˆ		ˆ ˆ		ˆ	(1.13б)
LL =	L L			= I .	(1.13б)
8. Отметим, что эрмитовы, антиэрмитовы и унитарные операторы
являются частными классами		нормальных операторов,			которыми
ˆ					ˆ
называются операторы L , коммутирующие со своими сопряженными L
ˆ ˆ		=	ˆ ˆ
LL		=	L L .

9. Конструкция g f , образованная кет- и бра-векторами, в котором

кет-вектор стоит слева, представляет собой линейный оператор. Для него выполняется равенство

(

g f

) =

Оператор Pg определенный как

g g

(1.14)

называется оператором

проектирования на кет-вектор

g . Результатом

на произвольный кет-вектор

действия этого оператора Pg

g g

g ,

будет

кет-вектор,

пропорциональный

коэффициентом

пропорциональности g

f .

Соседние файлы в папке КВАНТЫ билеты

#
23.02.2015429.38 Кб7117. Частица в потенциальном силовом поле прямоугольной формы.pdf
#
23.02.2015535.05 Кб7217.Простейшие приложения стационарной теории возмущений.pdf
#
23.02.2015359.65 Кб7218. Многочастичные функции для систем бозонов и фермионов.pdf
#
23.02.2015330.43 Кб852. Абстрактное гильбертово пространство.pdf
#
23.02.2015401.56 Кб912. Движение частицы в периодическом поле.pdf
#
23.02.2015300.59 Кб713. Линейные однородные операторы.pdf
#
23.02.2015470.54 Кб773. Общие свойства оператора углового момента.pdf
#
23.02.2015450.39 Кб734. Векторное сложение двух моментов.pdf
#
23.02.2015297.78 Кб784. Собственные векторы и собственные значения оператора.pdf
#
23.02.2015499.58 Кб825. Орбитальный момент и сферические функции.pdf
#
23.02.2015475.4 Кб705. Представления векторов и операторов.pdf