КВАНТЫ билеты / 4. Векторное сложение двух моментов
.pdf
Векторное сложение двух моментов. Коэффициенты КлебшаГордона
Пусть имеется квантовая система, состоящая из двух независимых друг |
||
|
|
|
от друга невзаимодействующих подсистем с угловыми моментами J1 |
и |
J2 |
соответственно (рис. 5.2). Согласно теории изложенной в п.5.1, для первой
подсистемы |
удобно ввести |
оператор квадрата момента |
ˆ 2 |
и |
оператор |
||||||||||||||||||||
J1 |
|||||||||||||||||||||||||
проекции |
|
|
момента |
ˆ |
на координатную ось |
Z, а |
для |
второй |
– |
набор |
|||||||||||||||
|
|
J1z |
|||||||||||||||||||||||
операторов |
ˆ 2 |
и |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 2 |
ˆ |
|||||
J 2 |
J 2 z . Собственные кет-векторы операторов J1 |
и J1z |
|||||||||||||||||||||||
подсистемы 1 обозначим как |
|
J1, M1 , а подсистемы 2 – |
|
|
J2 , M 2 . |
|
|
||||||||||||||||||
Если квантовая подсистема 1 (или 2) находится в состоянии, которое |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
описывается кет-вектором |
J1, M1 (или |
|
|
J2 , M 2 |
), то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ˆ 2 |
|
|
J1, M1 |
= |
2 |
|
|
J1, M1 |
(или |
ˆ 2 |
|
J2 , M 2 |
2 |
|
|
J2 , M 2 |
) , |
|
(5.15а) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
J1 |
|
|
J1J |
|
J2 |
|
= J2J |
|
|
|
|||||||||||||||
ˆ |
|
|
J1, M1 |
= |
J1z |
|
|
J1, M1 |
(или |
ˆ |
|
|
J2 , M 2 |
= J2z |
|
|
J2 , M 2 |
) . |
|
(5.15б) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
J1z |
|
|
|
|
J2 z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В указанном собственном состоянии подсистема может оказаться, например, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в результате процесса измерения квадрата длины вектора J |
(или J |
2 |
), а также |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
их проекций на ось Z. Значение квадрата длины J1 (или |
J2 ) |
будет равно |
||||||||||
|
|
ˆ 2 |
|
ˆ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
собственному значению оператора J1 |
(или J 2 ), т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
J12J = 2 J1(J1 1) (или J 22J = 2 J2 (J2 |
1) ) , |
|
|
|
|
|
(5.16а) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а значение проекции вектора J1 |
(или |
J2 ) на ось Z – собственному значению |
||||||||||
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора J1z (или |
J 2 z ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1z M1 (или |
J2z M 2 ) , |
|
|
|
|
|
|
(5.16б) |
|||
где M1 J1, J1 1, ... , J1 ; M2 |
J2, J2 |
1, ... , J2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Коммутирующие операторы |
ˆ 2 |
|
ˆ |
или |
||||||
|
|
J1 |
|
, J1z |
||||||||
|
ˆ 2 |
ˆ |
, действуют в разных подпространствах |
|||||||||
|
J 2 |
, J 2 z |
||||||||||
|
пространства |
состояний, |
поэтому |
они |
||||||||
|
коммутируют друг с другом. Например, |
|||||||||||
|
выполняются коммутационные соотношения |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
[J1, J2 ] 0 |
, [J1z |
, J |
2z ] 0 . |
|
|
|
|||
Рис. 5.2
Следовательно, описанная выше квантовая система, образованная двумя невзаимодействующими подсистемами, характеризуется набором из четырех
ˆ 2 |
, |
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ |
коммутирующих операторов J1 |
J1z , |
J 2 |
и J 2 z . В ней одновременно могут |
быть измерены значения величин, равные собственным значениям (5.16) данных операторов. Это означает, что собственное состояние системы надо описывать кет-вектором состояний, в обозначении которого присутствует набор из четырех квантовых чисел J1, M1, J2 , M 2 , каждое из которых связано
с соответствующей наблюдаемой. Обозначим этот кет-вектор следующим образом
J1, J2 , M1, M 2 = |
J1, M1 |
J2 , M 2 . |
(5.17) |
Он равен прямому произведению собственных кет-векторов отдельных подсистем и удовлетворяет уравнениям (5.15), т. е. является собственным
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ |
вектором операторов J1 , |
J1z , |
J 2 |
и J 2 z . |
При заданных числах J1 |
и J 2 числа M1 и M 2 могут принимать |
||
соответственно 2J1 1 и 2J2 |
1 значений. Количество этих значений равно |
||
соответственно размерности пространств состояний первой и второй подсистемы. Поскольку имеет место прямое произведение (5.17), пространство состояний всей системы имеет размерность произведения размерностей пространств состояний образующих ее подсистем. В связи с этим система может находиться в (2J1 1)(2J2 1) различных состояниях,
для которых векторы состояний при неизменных числах J1 и J 2 , отличаются
числами M1 и M 2 .
Обратимся сейчас к вопросу о собственных состояниях объединенной
системы, состоящей из двух рассмотренных выше подсистем и обладающей |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угловым моментом J . Этот момент связан с моментами J1 |
и J2 |
и |
||||||
определяется по правилу сложения векторов (рис. 5.3) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
J1 |
+ J2 . |
|
|
|
|
(5.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектору J |
сопоставляется оператор |
ˆ |
||||||
J , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
который равен сумме двух операторов J1 |
и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
J |
= J1 |
+ J2 . |
|
(5.19) |
|
|
В квантовой механике задача сложения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
моментов |
J1 |
и |
J2 |
заключается |
в |
|||
Рис. 5.3
нахождении по известным квантовым числам J1 |
и J 2 собственных значений |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
2 = 2 J (J 1) , |
|
(5.20а) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J z = |
M |
|
|
(5.20б) |
|||
|
ˆ 2 |
ˆ |
|
а также |
их |
собственных кет-векторов |
|
J , M , |
для |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
операторов J |
и J z , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
которых справедливы уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ˆ |
2 |
|
J , M |
= |
2 |
J (J 1) |
|
J , M |
, |
|
|
|
|
|
(5.21а) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
J , M |
|
= M |
|
J , M . |
|
|
|
|
|
|
(5.21б) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
J z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Согласно |
определению |
(5.19), |
оператор |
квадрата |
ˆ 2 |
момента |
|
|||||||||||||||||||||
|
J |
||||||||||||||||||||||||||||
|
J |
||||||||||||||||||||||||||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ˆ 2 |
ˆ |
|
|
|
ˆ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
(5.22) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
J |
|
= J1 |
J2 |
2J1J2 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
где |
последний |
член записан с |
учетом |
того, |
что |
коммутатор |
|
векторных |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
операторов J1 |
и J2 равен нулю. |
Поэтому несложно показать, что оператор |
|||||||||||||||||||||||||||
ˆ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 2 |
|
|
ˆ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J |
коммутирует с операторами J1 |
|
и J 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ 2 |
|
ˆ 2 |
|
|
|
ˆ 2 |
|
ˆ |
2 |
] 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
[J |
, J1 ] 0 , |
[J |
, J |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит в объединенной системе «1+2» с угловым моментом J можно |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
одновременно измерить длины векторов |
J1 , |
|
J2 , J , |
а также z-ю проекцию |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
момента J . Поэтому ее следует характеризовать новым набором четырех |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
ˆ 2 |
ˆ 2 |
и |
ˆ |
|
|
|
||
коммутирующих друг с другом операторов J1 , |
J 2 , |
J |
|
J z . В этом случае |
|||||||||||||||||||||||||
для указания состояний удобно использовать квантовые числа J1, J2, J и M. Каждому собственному состоянию системы сопоставляется кет-вектор
состояния |
J1, J2 , J , M , который |
тождественно |
равен |
введенному ранее |
||||||||||
собственному кет-вектору |
|
J , M |
: |
|
|
J , M |
|
J1, J2 , J , M |
и который также |
|||||
|
|
|
||||||||||||
является решением уравнений (5.15а). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Важно отметить, что рассмотренные ранее |
собственные кет-векторы |
||||||||||||
|
J1, J2 , M1, M 2 операторов |
|
ˆ 2 |
ˆ |
|
|
ˆ 2 |
ˆ |
будут еще и собственными |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
J1 , |
J1z , J 2 |
и J 2 z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
, |
который равен следующей |
|
векторами оператора z-й проекции момента J z |
||||||||||||||
сумме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ˆ |
= |
ˆ |
ˆ |
|
|
(5.23) |
||||
|
|
|
|
J z |
J1z + |
J 2 z . |
|
|
||||||
Эти векторы |
|
J1, J2 , M1, M 2 |
|
удовлетворяют |
уравнению (5.21б) и |
||||||||||
соответствуют |
собственным |
значениям Jz |
M , |
|
для |
которых |
в |
|
силу |
||||||
равенства (5.23) выполняется соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
M (M1 M 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В результате можно написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
M M1 |
M 2 . |
|
|
|
|
|
(5.24) |
||||
Вместе с тем кет-векторы |
|
J1, J2 , M1, M 2 |
не являются собственными |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторами |
оператора квадрата |
|
момента |
J , |
они |
не удовлетворяют |
|||||||||
|
J |
||||||||||||||
уравнению |
(5.21а). Поэтому |
матрица |
|
ˆ 2 |
, записанная |
в |
базисе |
||||||||
оператора J |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 2 |
не |
|
данных векторов, не диагональна. Это обусловлено тем, что оператор J |
|
||||||||||||||
коммутирует с операторами |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J1z |
|
и J 2 z . Следовательно, при заданной длине |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора J не могут быть одновременно и однозначно измерены проекции J1z
и J2z . В этой ситуации они не являются интегралами движения. Значения
этих проекций не могут быть определены, |
с течением времени |
они |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изменяются, поскольку имеет место два вида прецессии: моменты |
J |
|
и |
J |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
прецессируют вокруг направления вектора J , |
а сам угловой момент |
J |
|
– |
||||||
относительно оси Z. Описанная ситуация изображена на рис. 5.3. |
|
|
|
|
|
|||||
При фиксированных значениях чисел |
J1 |
и J 2 значения квантового |
||||||||
числа J принадлежат определенному интервалу. Его максимальное значение |
||||||||||
Jmax , очевидно, равно |
( J1 + |
J 2 ), а минимальное значение J min |
равно |
|||||||
| J1 J2 |, т. е. число J |
может принимать последовательность отличающихся |
|||||||||
на единицу значений, удовлетворяющих неравенствам |
|
|
|
|
|
|||||
| J1 J2 | Jmin J |
Jmax J1 J2 . |
|
(5.25) |
|||||||
Если выполняется неравенство |
J1 J2 , |
то |
J |
принимает всего |
2J2 1 |
|||||
значение, а если J1 J2 , то 2J1 1 значение.
Соотношение (5.25) можно интерпретировать на языке геометрии как неравенство, которому удовлетворяют три стороны треугольника (рис. 5.3), поэтому его часто называют соотношением треугольника и обозначают посредством символа (J1J2 J ) .
В свою очередь каждому значению квантового числа J соответствует 2J 1 кет-вектора J1, J2 , J , M 
, нумеруемых квантовым числом М, которое
находится внутри интервала
J Mmin M Mmax J , |
(5.26) |
и изменяется на единицу.
Следовательно, при заданных J1 |
и J 2 |
количество различных кет- |
||||
векторов |
J1, J2 , J , M вычисляется следующим образом |
|
|
|||
|
J max |
|
|
|
|
|
|
(2J 1) = (2J1 |
1)(2J2 1) . |
(5.27) |
|||
|
J min |
|
|
|
|
|
|
J1, J2 , J , M |
|
J1, J2 , M1, M 2 |
|||
Этот означает, что количество кет-векторов |
|
и |
||||
равно. Данный результат не удивителен, поскольку кет-векторы из каждого
рассмотренного |
набора |
|
векторов |
образуют |
базис |
одного |
|
и |
того |
же |
||||||||||||||||
(2J1 1)(2J2 |
1) -мерного |
|
пространства |
|
состояний. |
При |
этом |
набор |
из |
|||||||||||||||||
собственных |
|
кет-векторов |
|
J1, J2 , M1, M 2 |
|
|
|
|
|
ˆ 2 |
ˆ |
|
|
ˆ 2 |
ˆ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
операторов J1 , |
J1z , |
J 2 и |
J 2 z |
|||||||||||||||||||||
хорошо адаптирован |
к |
|
описанию |
состояний |
независимых |
подсистем с |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1, J2 , J , M |
|||
моментами |
J1 |
и |
J2 |
, |
а |
|
набор из |
собственных кет-векторов |
|
|||||||||||||||||
|
|
ˆ 2 |
ˆ 2 |
, |
ˆ 2 |
и |
ˆ |
удобно использовать при изучении квантовой |
||||||||||||||||||
операторов J1 , |
J 2 |
J |
|
J z |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системы с моментом J . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Указанные наборы кет-векторов связаны друг с другом унитарным |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
преобразованием. |
Преобразование |
от известных |
J1, J2 , M1, M 2 |
-векторов |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(5.17) к |
J1, J2 , J , M -векторам можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
J1, J2 , J , M |
|
= |
|
|
CMJ |
1 |
M |
2 |
|
J1, J2 , M1, M 2 . |
|
|
|
(5.28) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M M 1 M |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В этом разложении коэффициенты |
CMJ |
|
M |
определяются согласно общему |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правилу как скалярное произведение соответствующих кет-векторов
CMJ 1 M 2 = 
J1, J2 , M1, M2 J1, J2, J , M 
.
Они называются коэффициентами векторного сложения, или коэффициентами Клебша – Гордана. Эти коэффициенты являются
элементами |
матрицы унитарного преобразования от |
кет-векторов |
|||
|
J1, J2 , M1, M 2 |
к кет-векторам |
|
J1, J2 , J , M , строки которой |
нумеруются |
|
|
||||
числом J , а столбцы – числом M . Коэффициенты будут отличными от нуля при выполнении условия (5.24) и соотношения треугольника (5.25).
При фиксированных значениях квантовых чисел J и М запись (5.28) представляет собой разложение кет-вектора J1, J2 , J , M 
в виде линейной
комбинации кет-векторов J1, J2 , M1, M 2 
, а коэффициенты Клебша – Гордана определяют вклад различных векторов J1, J2 , M1, M 2 
в вектор J1, J2 , J , M 
.
Таким образом, задача о сложении моментов сводится к определению коэффициентов Клебша – Гордана. Их можно взять из представленных в литературе таблиц, или вычислить с помощью одного из трех существующих методов: последовательного спуска, Рака и проекционного оператора.
В некоторых случаях, например, в теории атомных спектров, вместо
коэффициентов CMJ |
|
M |
удобно использовать 3J -символы Вигнера |
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
J |
|
J |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
, |
(5.29) |
|
|
|
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
M |
|
|
||
которые обладают более высокой симметрией относительно перестановки индексов, чем коэффициенты Клебша – Гордана и связаны с ними соотношением
|
|
|
|
|
|
J1 J 2 M |
|
|
J |
1 |
J |
2 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(J , J , M , M |
|
J , J , J , M ) = ( 1) |
2J 1 |
|
|
|
|
. (5.30) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
M 2 |
M |
|
|||