КВАНТЫ билеты / 12. Изменение квантовых состояний во времени
.pdf
Изменение квантовых состояний во времени
Приступим к поиску уравнения движения, которое выражает принцип причинности и позволяет однозначно определить квантовое чистое состояние системы в любой момент времени t по известному в начальный момент времени t0 чистому состоянию. Для этого допустим, что в начальный момент
времени t0 состояние физической системы описывает кет-вектор g(t0 )
, а
произвольный момент времени |
t – кет-вектор |
g(t) . Кроме того, |
введем |
|||
ˆ |
|
|
|
|
t0 . Он |
|
линейный оператор U (t,t0 ) , который зависит от двух величин t и |
||||||
выполняет следующее преобразование |
|
|||||
|
g(t) |
ˆ |
|
g(t0 ) , |
(3.1) |
|
|
|
|||||
|
U (t,t0 ) |
|
||||
позволяющее перейти от вектора состояния g(t0 )
к вектору состояния g(t)
. Оператор ˆ 0 называется оператором эволюции квантовой системы.
U (t,t )
Для оператора эволюции можно записать равенства
|
ˆ 1 |
|
ˆ |
,t) |
U |
(t,t0 ) U (t0 |
|||
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
U (t2 |
,t1)U (t1,t0 ) U (t2 |
|||
,
,t0 ) .
Кроме того, чтобы сохранялось постоянство квадрата нормы кет-вектора 
для любого момента времен t , оператор эволюции должен быть
унитарным оператором |
|
|
|
ˆ 1 |
ˆ |
|
(t,t0 ) . |
U |
(t,t0 ) U |
|
Рассмотрим бесконечно малый сдвиг во времени и, устремляя время t к t0 , запишем предел от выражения
|
|
|
|
lim |
|
g(t) |
|
|
g(t0 ) |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
по переменной t в |
|||||||||||
Этот предел, равный производной от кет-вектора |
g(t) |
|||||||||||||||||
точке t0 , можно переписать, учитывая (3.1), в виде |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d |
g(t) |
|
|
U (t,t |
0 |
) |
I |
|
|
||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
g(t0 ) . |
(3.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dt |
|
|
t t0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t0 |
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Получающийся в пределе оператор, который обозначим символом tˆ(t) :
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
U (t,t0 ) |
I |
|
|
t (t) lim |
|
|
, |
t t |
|
||
t t0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
называется оператором смещения во времени на величину t t0 .
Учитывая отмеченные выше свойства оператора эволюции, несложно показать, что tˆ(t) является антиэрмитовым оператором, а его вид
постулируется |
|
|
|
tˆ(t) |
1 |
ˆ |
|
i |
H (t) , |
(3.3) |
|
|
|
|
где ˆ – это оператор функции Гамильтона (гамильтониан, оператор
H (t)
Гамильтона) системы, вид которого определяется физическими свойствами |
|||
|
|
|
|
системы. Оператор H (t) является эрмитовым. |
|
||
В соответствие с введенным постулатом уравнение (3.2) для |
|||
произвольного времени t может быть записано в виде |
|
||
i |
d g(t) |
ˆ |
|
dt |
H (t) g(t) . |
(3.4а) |
|
Это дифференциальное уравнение первого порядка относительно времени t носит название уравнения Шредингера и является одним из основных уравнений квантовой механики. Поскольку левая часть этого уравнения линейна, то в силу принципа суперпозиции линейна и правая часть. Значит,
ˆ есть линейный оператор.
H (t)
Таким образом, изменившейся во времени вектор состояния g(t)
, для
которого справедливо унитарное преобразование (3.1), может быть найден путем решения уравнения Шредингера (3.4а).
Сопряженным уравнению (3.4а) будет уравнение
|
|
i |
d |
g(t) |
|
|
ˆ |
|
(t) |
|
|
ˆ |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
g(t) |
H |
|
g(t) |
H (t) . |
(3.4б) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
(t) . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь принимали во внимание, что H (t) |
H |
|
|
||||||||||||
|
Теперь произведем в уравнении (3.4а) следующую замену. Вместо кет- |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
вектора |
g(t) запишем |
правую часть |
выражения (3.1) и, учитывая, что |
||||||||||||
|
g(t0 ) является произвольным кет-вектором, получим уравнение |
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
i |
U (t,t0 ) |
|
||
|
H (t)U (t,t0 ) , |
(3.5) |
||
t |
||||
|
|
|
||
|
|
ˆ |
ˆ |
|
которое, во-первых, устанавливает связь между операторами U (t,t0 ) и |
H (t) , |
|||
во-вторых, позволяет определить вид ˆ 0 при известных начальных
U (t,t )
условиях.
Например, несложно получить явный вид оператора эволюции для консервативных микросистем, в которых полная энергия Е сохраняется. Напомним, что к ним относятся замкнутые системы, а также незамкнутые системы, на которые действуют не зависящие от времени внешние силы. В
этом случае соответствующий полной энергии Е оператор Гамильтона ˆ не
H
зависит явно от времени t, т. е. его частная производная по времени равна
ˆ
нулю H 0 .t
Для отмеченных выше условий перепишем уравнение (3.5)
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
dU (t,t0 ) |
|
ˆ |
|
|||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
Hdt , |
|
|||
|
|
|
U (t,t0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
после чего проинтегрируем его с учетом начальных условий |
|||||||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
U (t0 |
,t0 ) I . |
|
||||||
В результате приходим к выражению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ˆ |
|
|
|
|
i |
|
ˆ |
|
|
|
|
U (t,t0 ) exp |
|
H (t t0 ) . |
(3.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сейчас будем считать, что динамические переменные L квантовой |
|||||||||||
системы не |
зависят явно |
от времени |
|
t, |
т. е. спектр |
соответствующих |
|||||
операторов |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L с течением времени не меняется. В этом случае эволюция |
|||||||||||
системы будет полностью определяться временной зависимостью векторов
состояний |
|
g(t) . При |
|
таком описании |
эволюции |
квантовой системы |
|||
собственные |
векторы |
|
l |
независимых |
от |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|||||||
|
времени операторов L |
||||||||
наблюдаемых величин L образуют в пространстве состояний стационарную |
|||||||||
систему базисных векторов, |
а вектор состояния |
|
g(t) |
квантовой системы |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поворачивается с течением времени в этом пространстве. Подобный подход к
ˆ |
g(t) при описании эволюции |
рассмотрению операторов L и кет-векторов |
квантовой системы имеет место в картине, которая получила название
шредингеровской. |
|
|
|
В картине Шредингера результат |
действия независящего явно от |
||
ˆ |
|
g(t) |
выражает запись |
|
|||
времени оператора L на кет-вектор |
|
||
ˆ |
(3.7) |
f (t) L g(t) . |
Зависимость от времени t средних значений 
l 
g (t) физических величин
L возникает только через временную зависимость векторов состояний |
|
g(t) . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
||
В случае нормированных кет-векторов |
g(t) |
среднее значение |
|
g (t) |
||||||||||||
вычисляется, согласно формуле (2.7а): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
g(t) |
|
ˆ |
|
g(t) . |
|
|
|
(3.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
l g (t) = |
|
L |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность того, что в момент времени t |
результатом измерения |
|||||||||||||||
наблюдаемой L в квантовой системе, которая находится в состоянии |
|
g(t) , |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
будет число, равное одному из собственных значений оператора |
ˆ |
|||||||||||||||
L , |
||||||||||||||||
определяется следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
|||||||||
P(li, t) = |
|
li |
g(t) |
|
|
(3.9а) |
||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда оператор L имеет дискретный спектр, и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dP(l ,t) = |
|
|
|
|
2 d , |
|
|
|||||||||
|
l |
g(t) |
|
|
(3.9б) |
|||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда оператор L обладает непрерывным спектром. |
|
|
|
|
||||||||||||