КВАНТЫ билеты / 14. Уравнение Шредингера в координатном представлении
.pdf
Уравнение Шредингера в координатном представлении
Уравнение Шредингера (3.4а) является весьма важным при практическом решении многих задач квантовой механики. Оно обычно записывается в определенном представлении, т. е. для представителей
вектора состояния |
|
ˆ |
|
||
|
g(t) и оператора Гамильтона H (t) . Наиболее широкое |
распространение получило координатное представление (см. п. 2.3), на котором сейчас остановимся.
Если рассматривается трехмерное пространство, то уравнение Шредингера (3.4а) несложно преобразовать к виду
|
|
ˆ |
( r ) |
|
|
i |
t |
g (r,t) H |
|
(t) g (r,t) . |
(3.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (r,t) |
|
|
|
Вместо кет-вектора |
g(t) следует писать |
функцию |
r |
g(t) , а |
||||
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
(r) |
(t) . |
|
|
|||
вместо оператора H (t) – его дифференциальное ядро Н |
|
|
|
|||||
При известном операторе Гамильтона |
ˆ |
(r) |
(t) это уравнение позволяет |
|||||
Н |
|
|||||||
найти функцию g (r ,t) в любой момент времени t, если задано ее значение в
начальный момент времени to. Несмотря на то, что уравнение Шредингера
(3.18) содержит только первую производную по времени t, из-за наличия |
|||
мнимой единицы оно имеет периодические решения (r ,t). Следовательно, |
|||
g |
(r ,t)-функции |
||
уравнение (3.18) является волновым уравнением, а |
|||
|
g |
|
|
называются волновыми функциями. |
|
(r) |
|
|
ˆ |
(t) |
|
Явный вид уравнения (3.18) определяется оператором Гамильтона Н |
|
||
, вид которого, в свою очередь, зависит от изучаемой физической системы, т. е. от природы квантовых частиц, образующих систему, их взаимодействия
между собой и от наличия внешнего поля. В качестве примера запишем в
ˆ (r)
координатном представлении оператор Гамильтона Н (t) и уравнение
Шредингера для простой квантовой системы, состоящей из одной нерелятивистской (v << c) частицы массы m. Рассмотрим несколько случаев.
1) Свободная частица. Допустим, что движение частицы, обладающей
ˆ
импульсом р , происходит в пространстве, в котором ее потенциальная
энергия U = const. Тогда функция Гамильтона Н не будет явно зависеть от времени t. Она совпадает с полной энергией Е частицы, которая, в свою очередь, в предположении U = 0, будет равна только ее кинетической
энергии T
Н(р) = Е(р) = Т(р) .
ˆ
Следовательно, оператор Гамильтона Н (r) , сопоставляемый полной
энергии Е, должен быть равен, в силу принципа соответствия, оператору |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ (r) |
|
(2.47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
кинетической энергии Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
(r) |
|
|
ˆ (r) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
= Т |
|
|
. |
|
(3.19) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
||||||||||||||||
Подставляя (3.19) в уравнение (3.18), приходим к уравнению |
|||||||||||||||||||||||||||
Шредингера следующего вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r |
,t) |
|
|
(r ,t) . |
|
(3.20) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
g |
|
|
|
|
|
2m |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Частица находится в силовом поле. Функция Гамильтона Н равна |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумме кинетической энергии T частицы и ее энергии U (r,t) в силовом поле |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н ( р, r, t) = Т(р) + U (r,t) . |
|
|
|
|||||||||||||||||
Значит, зависящий от времени оператор Гамильтона H (r ) (t) представляется |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ˆ (r) |
и |
|
ˆ ( r ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
суммой операторов Т |
|
|
U |
|
(r,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(r ) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ( r ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
H |
|
(t) |
|
|
2m |
+ |
|
U |
(r,t) |
|
2m |
+ U (r,t) . |
(3.21) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
В последнем равенстве учтено, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( r ) |
||||||||||||||
|
что оператор функции координат U |
|
(r,t) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен самой функции U (r,t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В результате получаем уравнение Шредингера вида |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
g (r ,t) |
|
|
|
g (r |
,t) + U (r,t) g |
(r ,t) . |
(3.22) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сделаем несколько замечаний относительно этого уравнения. |
|
|
1. Поскольку уравнение содержит первую производную по времени t и |
||
вторую производную по координатам, его решения |
(r |
,t) будут |
|
g |
|
комплексными (это отличает его от имеющего вторую производную по времени t классического волнового уравнения, решения которого будут действительными).
2. Уравнение является дифференциальным уравнением в частых
производных. Данные уравнения чаще всего |
аналитически не решаются, |
поскольку строгость такого решения сильно |
|
зависит от функции U (r,t) . |
Поэтому в квантовой физике существует очень узкий круг задач, решаемых в аналитическом виде.
3. Являясь линейным дифференциальным уравнением в частных производных, уравнение Шредингера имеет множество решений. Причем, любая линейная комбинация частных решений также будет решением этого уравнения.
При решении волнового уравнения Шредингера (3.18) находят функциюg (r ,t) для g(t)
-состояния квантовой системы. Причем физический смысл,
как уже отмечалось, имеет квадрат модуля волновой -функции, т. е. плотность вероятности
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
g |
( r ,t) = | |
(r ,t)| . |
|
|
|
||||
|
|
g |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта величина, согласно (2.2б), определяет вероятность dPg ( r ,t) обнаружения |
|||||||||
системы, находящейся в момент |
времени |
t в состоянии |
|
g(t) (имеет |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определенное значение либо энергии Е, |
либо импульса |
в бесконечно |
|||||||
p ), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
малом объеме dV , окружающем точку с радиус-вектором r : |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dPg ( r ,t) = g ( r ,t) dV . |
|
|
|
||||||
Зная нормированную волновую функцию g (r ,t), можно определить среднее значение 
l 
g (t) любой динамической переменной L по формуле
|
* |
ˆ(r ) |
|
|
l |
g (t) = g (r ,t) |
L |
g (r ,t) dV . |
(3.23) |
V