КВАНТЫ билеты / 8. Особенности движения частицы в поле центральных сил
.pdf
Особенности движения частицы в поле центральных сил
Рассмотрим микрочастицу с массой m, движущуюся с малой скоростью v << c в пространстве, в котором имеется сферически-симметричное
потенциальное поле. В таких полях потенциальная энергия U (r) |
частицы |
|||||||||||||
зависит от ее расстояния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом |
r =| r | до некоторого силового центра. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силы F , действующие на частицу, называются центральными |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dU (r) |
|
||||
F = gradU (r) |
|
|
U (r) |
= |
|
|
|
r . |
(6.1) |
|||||
|
r dr |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||
Если не учитывать |
наличие |
спина у |
частицы, |
то в координатном |
||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ (r) |
квантовой системы будет иметь вид |
||||||||
представлении оператор Гамильтона Н |
|
|||||||||||||
|
ˆ |
(r) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Н |
|
|
|
+ U (r) . |
|
|
|||||||
|
|
2m |
|
|
||||||||||
Значит, квантово-механическая задача предполагает решение стационарного уравнения Шредингера
E (r ) 2m2 [E U (r)] E (r ) = 0 .
При этом временная зависимость волновых E (r ,t)-функций стационарных
|
i |
|
|
|
состояний частицы определяется множителем exp |
|
E(t t0 ) |
, где Е – это |
|
|
||||
|
|
|
полная энергия частицы.
Из-за сферической симметрии силового поля, задачу проще решать в сферической системе координат ( r , , ), центр которой совмещен с силовым центром. Таким образом, решение стационарного уравнения
Шредингера является функцией трех переменных: |
E |
(r ) = |
( r , , ). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
Оператор Лапласа в сферических координатах ( r , , ) определяется |
||||||||||||||||||||||||
выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
+ |
|
, |
, |
|
|
|
|
|
(6.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где , – это угловая часть оператора Лапласа (5.45) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
, |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Согласно (5.44), оператор квадрата орбитального момента lˆ2 записывается через угловую часть оператора Лапласа
lˆ2 2 , ,
поэтому стационарному уравнению Шредингера можно придать вид
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
lˆ2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
U (r) E E (r, , ) 0 . |
(6.3) |
|
|
|
|
|
2mr 2 |
||||||||
|
2m r 2 r |
|
r |
|
|
|
|||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
2m r 2 |
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
r |
|||||
является оператором кинетической энергии для радиального движения, а
оператор
lˆ2
2mr 2
можно рассматривать как оператор кинетической энергии вращения частицы вокруг силового центра, или как оператор потенциальной энергии частицы в поле центробежной силы.
Поскольку оператор квадрата орбитального момента lˆ2 не воздействует на радиальную переменную r, а действует только на угловые переменные и
|
|
|
|
ˆ (r) |
частицы |
|
|
|
|
||||||||
, ясно, что гамильтониан H |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
ˆ2 |
|
|
|
||||||
ˆ (r) |
= |
|
|
l |
|
|
|
||||||||||
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
+ |
2mr 2 |
+U (r) |
|
(6.4) |
|
|
|
2m r |
2 |
|
r |
|
r |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ˆ2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
коммутирует в силу |
||
коммутирует с оператором l |
|
Кроме того, оператор l |
|
||||||||||||||
перестановочных соотношений |
(5.35) с оператором z-й проекции момента lˆz . |
|||
ˆ (r) |
ˆ2 |
ˆ |
коммутируют друг с другом и имеют |
|
Следовательно, операторы H |
, l |
и lz |
||
общие собственные функции E ( r , , ). |
|
|||
2 |
|
|
ˆ2 |
, согласно (5.53), равны |
Собственные значения ll оператора l |
||||
l 2 2l(l 1) |
, |
l 0, 1, 2, … , |
||
l |
|
|
|
|
а собственными функциями являются сферические функции Yl,ml ( , ) (5.54), которые определяют зависимость функций E ( r , , ) от углов и .
Поэтому при решении уравнения (6.3) естественно можно применять метод разделения переменных, т. е. искать E ( r , , ) в виде
E ( r , , ) = R(r) Y ( , ) .
Произведем в уравнении (6.3) такую подстановку, после чего умножим все члены на множитель r 2 / R(r) Y ( , ) . В итоге получим два уравнения, одно из которых – это уравнение для угловой части Y ( , ) функции E ( r , ,
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
Y ( , ) |
|
|
1 |
2Y ( , ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l(l 1)Y ( , ) 0 , |
|
|||||
|
sin |
|
|
sin 2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
другое – для радиальной части R(r) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 d |
|
2 |
dR(r) |
|
2m |
|
2l(l 1) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
E |
U (r) |
|
|
R(r) 0 . |
(6.5) |
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
2 |
|
2mr 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Первое из этих уравнений аналогично уравнению (5.47), которое уже было решено (см. п.5.3). Его решениями являются сферические функции Yl,ml ( , )
. Уравнение (6.5) называется радиальным уравнением Шредингера. Именно оно нас будет интересовать в дальнейшем, так как позволяет определить полную энергию Е частицы.
Сделаем в уравнении (6.5) следующую замену
|
|
|
|
R(r) |
(r) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
после которой его несложно привести к виду |
|
|
|||||||
|
d 2 (r) |
|
2m |
|
|
2l(l 1) |
|
|
|
|
|
|
|
E U (r) |
|
|
(r) 0 . |
(6.6) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dr 2 |
|
2 |
|
|
2mr 2 |
|
|
|
По своей форме это дифференциальное уравнение совпадает со стационарным уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с эффективной потенциальной энергией U эф (r) , равной
U эф (r) =U (r) |
|
2l(l 1) |
. |
(6.7) |
|
2mr 2 |
|||
|
|
|
|
Итак, задача о движении в сферически-симметричном потенциальном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, которая ограничена с одной стороны r 0. При этом должно выполнятся граничное
условие (0) 0 , поскольку сама E ( r , , ), а также ее радиальная часть R(r) должны быть конечны во всем пространстве.
Для того, чтобы найти функции E ( r , , ) в виде
|
( r , , ) = |
(r) Y |
( , ) . |
(6.8) |
|
|
E |
r |
l,ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
и значения Е энергии системы, необходимо решить уравнение (6.6). Важно отметить, что значения Е энергии и радиальные функции R(r) определяются
видом потенциальной энергии U (r) .