КВАНТЫ билеты / 4. Собственные векторы и собственные значения оператора
.pdf
Собственные векторы и собственные значения оператора
Если оператор ˆ и ненулевой кет-вектор l удовлетворяют уравнению
L
|
|
|
|
ˆ |
|
l |
= l |
|
l |
, |
|
(1.15) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||||||||
где l – это |
некоторое |
комплексное |
|
число, то кет-вектор |
|
l называют |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
собственным |
вектором |
оператора |
|
ˆ |
|
|
соответствующим |
собственному |
||||||||
L |
|
|
||||||||||||||
значению l. Запись (1.15) означает, что действие оператора |
ˆ |
|
|
|||||||||||||
L на кет-вектор |
||||||||||||||||
|
l равносильно умножению этого вектора на численный множитель l. |
|||||||||||||||
|
В качестве примера запишем для другого оператора |
ˆ |
уравнение на |
|||||||||||||
|
L |
|||||||||||||||
собственные бра-векторы |
l |
и собственные значения l |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
l |
|
ˆ |
|
|
l |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
L = l |
|
|
|
|
|||||||
Совокупность всех собственных значений оператора называется
спектром. Он может быть дискретным (точечным) или непрерывным
(сплошным). В первом случае собственные векторы образуют дискретный набор, например, li 
и нумеруются индексом i = 1, 2,…, n; во втором
случае – непрерывный набор l 
, ξ – это непрерывный параметр.
Отметим ряд свойств собственных векторов линейного однородного
оператора ˆ .
L
а) Собственные векторы определяются с точностью до произвольного ненулевого множителя, так как после умножения векторов на произвольный множитель они будут удовлетворять однородному уравнению (1.15).
б) Собственные векторы li 
, соответствующие различным собственным
значениям li (li ≠ lj при i ≠ j), линейно-независимы.
в) Собственному значению li может соответствовать s различных линейно-независимых собственных векторов li1 
, … , lis 
. В этом случае
данное собственное значение будет вырожденным, а число s принято называть кратностью вырождения.
г) Линейная комбинация (α1 li1 
+ … +αs lis 
), образованная из s собственных векторов li1 
, … , lis 
, относящихся к одному и тому же
собственному значению li, тоже будет собственным вектором, соответствующим этому значению li.
Широкое применение в квантовой механике находят эрмитовы операторы (см. п. 2.1). Выделим несколько важных свойств этого класса операторов.
а) Их собственные векторы, соответствующие различным собственным
значениям, ортогональны. Поэтому если ˆ имеет дискретный спектр, то
L
выполняется равенство
li |
l j 0 при i ≠ j, |
(1.16а) |
а если спектр непрерывный, то
|
0 при . |
|
|
l |
l |
(1.16б) |
|
б) Поскольку собственные векторы линейного однородного оператора определяются с точностью до произвольного ненулевого множителя, этот множитель для эрмитовых операторов можно выбрать исходя из условий
|
|
li |
|
ˆ |
|
|
|
||
|
|
|
l j ij , если L имеет дискретный спектр, |
|
l |
|
l |
|
ˆ |
|
|
|||
|
|
( ) , если L имеет непрерывный спектр. |
В этих равенствах ij – это символ Кронекера:
1 |
, |
если i j , |
|
|
|
ij |
, |
если i j . |
0 |
||
|
|
|
а символом ( ) обозначена дельта-функция Дирака (см. прил. 1):
(1.17)
(1.18)
|
|
, |
если |
, |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
. |
|
0 |
, |
если |
|
|
|
|
|
|
Итак, эрмитовы операторы обладают ортонормированными собственными векторами, определяемыми, согласно (1.17 и 1.18), с
точностью до фазового множителя eic (i – мнимая единица, с – вещественное число), модуль которого равен 1.
в) Собственные значения эрмитовых операторов вещественны, кроме того, эти значения, соответствующие собственным кет- и бра-векторам, совпадают.
Для того чтобы это проверить, возьмем уравнение (1.15) для кетвекторов и применим к его левой и правой части операцию эрмитового сопряжения:
l Lˆ l* 
l .
Уравнение (1.15) записали для бра-векторов. Перепишем это уравнение в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
ˆ |
* |
l |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Спроектируем правую и левую части этого уравнения на бра-вектор l |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а исходного |
уравнения |
(1.15) |
на |
кет-вектор |
|
l . |
|
Для |
этого действуем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
l |
l |
|
на каждую из частей. В результате |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
оператором проектирования Рl |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим для бра-векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
l |
|
ˆ ˆ |
l |
|
ˆ |
|
l |
l |
|
(левая часть), |
l |
|
l |
* ˆ |
l |
|
l |
* |
|
l l |
|
l |
* |
l |
|
l |
|
l |
|
(правая часть), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
LРl |
|
L |
|
|
|
Рl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для кет-векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ˆ ˆ |
|
l |
|
|
l l |
|
ˆ |
|
l |
l |
|
ˆ |
|
l |
|
l (левая часть), |
|
ˆ |
|
l |
|
l l |
|
l |
|
l |
|
(правая часть). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рl L |
|
|
|
L |
|
|
L |
|
|
Рl l |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь учитывали, что при умножении числа на вектор (или оператор) результат не изменится в случае перестановки их местами. Сравнивая проекции левых частей, видим, что они равны. Отсюда следует, что l = l*, т. е. собственные значения вещественны и совпадают.