БДЗ №2 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
ИВТ-22, Степанова Мария Николаев- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/
9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.
ф-ла y00 |
= |
1 |
(2y0 |
|
5y1 + 4y2 |
|
y3); функ. y(x) = sin x на отрезке [ =2; ]; погр. = 10 3. |
2 |
|||||||
0 |
|
h |
|
|
|||
10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.
I = Z |
3 |
n |
|
|
1 cos x ch x dx; |
S(h) = h i=1 f(xi) (ф-ла правых прямоуг.); h1 = 4=8; h2 = 4=12: |
|
|
|
|
X |
11. Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.
1 |
e2x |
dx |
Z1 |
||
|
arctg x |
|
12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:
jjxjj1 |
= i |
jxij, jjxjj2 |
= r |
|
|
xi2. |
|||||
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
i |
|
01
6 5 5
BC
B |
1 |
1 |
4 |
C |
1 |
9 |
8 |
||
@ |
|
|
|
A |
13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную
погрешность нормы решения |
jj xjj1 |
. Указание: воспользоваться оценкой |
jj xjj1 |
6 (A) |
jj fjj1 |
. |
||||||
|
jjxjj1 |
|
|
|
|
0 4; 7 |
|
jjxjj1 |
jjfjj1 |
|||
A = |
0 3 10 4 1 |
; f = |
1; jj fjj1 = 0:2 |
|
|
|||||||
|
4 |
3 |
8 |
C |
|
B |
9; 2 |
C |
|
|
|
|
|
B 4 |
8 |
4 |
|
3; 6 |
|
|
|
|
|||
|
B |
|
|
C |
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.
(
y00 y0 = 2x;
желаемый порядок аппроксимации p = 2.
y0(0) = 1; y0(1) y(1) = 2;
15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.
y0 |
+ y = x |
|
yi+1 yi 1 |
+ yi = ih |
||
( y0 |
|
8 y2 |
2yh0 |
|
|
|
(0) = 1; y(2) = 0; |
< |
|
|
= 1; yn = 0 (где xn = 2) |
||
|
2h |
|||||
|
|
: |
|
|
|
|
16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в
решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).
0 1 9 |
07 0 |
0 |
1 |
0 |
|
9 1 |
||||||
|
7 |
3 |
|
0 |
0 |
C |
|
10 |
|
|||
A = B 0 |
|
7 |
16 6 |
0 |
; f = B 9 C |
|||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
B |
0 |
0 |
7 |
12 |
2 |
C |
B |
|
5 |
C |
||
B |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
9 |
C |
B |
9 |
C |
||
B |
|
C |
B |
|
C |
|||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
A |
БДЗ №2 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
ИВТ-22, Сулейманов Артём Ильнуро- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вич |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/
9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.
ф-ла y00 |
= |
1 |
(2y0 |
|
5y1 + 4y2 |
|
y3); функ. y(x) = sin x на отрезке [ =2; ]; погр. = 10 3. |
2 |
|||||||
0 |
|
h |
|
|
|||
10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.
I = Z |
3 |
n |
|
|
1 cos x ch x dx; |
S(h) = h i=1 f(xi 1=2) (ф-ла центр. прямоуг.); h1 = 4=8; h2 = 4=12: |
|
|
|
|
X |
11.Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.
1 |
x2 dx |
Z0 |
|
|
cos x |
12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:
jjxjj1 |
= i |
jxij, jjxjj2 |
= r |
|
|
xi2. |
|||||
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
i |
|
01
10 7 6
BC
B |
6 |
5 |
1 |
C |
8 |
9 |
5 |
||
@ |
|
|
|
A |
13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную
погрешность нормы решения |
jj xjj1 |
. Указание: воспользоваться оценкой |
jj xjj1 |
6 (A) |
jj fjj1 |
. |
||||||||
|
jjxjj1 |
8 |
10 1; f = |
0 9; 3 |
1; |
|
jjxjj1 |
jjfjj1 |
||||||
A = 0 |
10 |
f |
= 0:3 |
|
|
|||||||||
B |
6 |
10 |
5 |
B |
5; 8 |
C |
jj |
jj1 |
|
|
||||
1 |
3 |
6 C |
|
9; 2 |
|
|
||||||||
B |
|
|
C |
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
||
@ |
|
|
A |
@ |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации. |
|
|
||||||||||||
y00 2y = exp x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( y(0) = 2; y0(1) = 0; |
желаемый порядок аппроксимации p = 2. |
|
|
|||||||||||
15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.
y0 + 4y = x |
|
8 |
h |
yn |
|
yin 2 |
|||
|
2 |
|
yi+1 |
yi |
+ 4y |
= (ih)2 |
|||
( y(0) = 1; y0(2) = 4; |
< y0 = 1; |
|
|
|
|
|
= 4 (где xn = 2) |
||
|
|
2h |
|||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
||
16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в
решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).
0 |
10 |
16 |
5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
1 |
||
A = B |
19 |
10 |
0 |
0 |
0 |
|
|
4 |
C |
||
0 |
8 22 |
|
10 0 |
C; f = B 1 |
|||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
C |
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
C |
B |
0 |
0 |
|
4 |
|
15 |
10 |
C |
B |
3 |
C |
B |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
C |
B |
9 |
C |
B |
0 |
6 |
16 |
C |
B |
C |
|||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
C |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
A |
|
БДЗ №2 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
ИВТ-22, Тарасов Вячеслав Андреевич |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/
9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.
ф-ла y00 |
= |
1 |
(y0 |
|
2y1 + y2); функ. y(x) = ch x на отрезке [ |
|
1; 3]; погр. = 10 7. |
2 |
|||||||
2 |
|
h |
|
|
|
10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.
I = |
Z1 |
n |
3 sin x sh x dx; S(h) = h i=1 f(xi 1) (ф-ла левых прямоуг.); h1 = 2=4; h2 = 2=12: |
||
|
|
X |
11.Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.
3
Z
ch x
(1 x)2 dx
0
12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:
jjxjj1 |
= i |
jxij, jjxjj2 |
= r |
|
|
|
i |
xi2. |
|||||
|
P |
|
|
P |
|
|
01
1 9 4
BC
B9 2 5 C
@ A
1 7 6
13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную
погрешность нормы решения |
jj xjj1 |
. Указание: воспользоваться оценкой |
jj xjj1 |
6 (A) |
jj fjj1 |
. |
|||||||||||
|
|
|
jjxjj1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
jjxjj1 |
jjfjj1 |
||||
|
A = |
0 |
2 |
|
2 |
2 |
1 |
; f = 0 |
8; 0 |
1; jj fjj1 = 0:2 |
|
|
|||||
|
6 2 10 |
9; 4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
B |
5 |
|
|
3 |
9 |
C |
B |
|
3; 1 |
C |
|
|
||
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
B |
|
C |
|
|
||||
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
A |
|
|
||
14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации. |
|
|
|||||||||||||||
2y00 y = sh x 1; |
|
|
|
|
желаемый порядок аппроксимации p = 2. |
||||||||||||
( y0(0) |
|
y(0) = 2; y(1) = 1; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.
|
8 |
2y |
+ y |
i+1 |
|
|
y |
|
|
y00 y0 = 1 |
yi 1 h2i |
|
|
yi+1 |
|
i |
= 1 |
||
|
|
|
|||||||
|
|
h |
|
|
|||||
( y(0) = 1; y(2) = 3; |
< y0 = 1; yn = 3 (где xn = 2) |
|
|
||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в
решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).
0 1 9 |
07 0 |
0 |
1 |
0 |
|
9 1 |
||||||
|
7 |
3 |
|
0 |
0 |
C |
|
10 |
|
|||
A = B 0 |
|
7 |
16 6 |
0 |
; f = B 9 C |
|||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
B |
0 |
0 |
7 |
12 |
2 |
C |
B |
|
5 |
C |
||
B |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
9 |
C |
B |
9 |
C |
||
B |
|
C |
B |
|
C |
|||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
A |
БДЗ №2 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
ИВТ-22, Тимофеев Александр Макси- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мович |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/
9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.
ф-ла y0 |
= |
1 |
(y0 |
|
8y1 + 8y3 |
|
y4); функ. y(x) = sin x на отрезке [ =2; ]; погр. = 10 7. |
|
12h |
||||||||
2 |
|
|
|
|
10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.
I = |
Z1 |
n |
3 sin x sh x dx; S(h) = h i=1 f(xi 1) (ф-ла левых прямоуг.); h1 = 2=6; h2 = 2=10: |
||
|
|
X |
11.Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.
4 |
1 + x2 |
|
Z0 |
||
|
ln(4 x) |
dx |
|
|
|
12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:
jjxjj1 |
= i |
jxij, jjxjj2 |
= r |
|
|
|
i |
xi2. |
|||||
|
P |
|
|
P |
|
|
01
9 5 7
BC
B2 8 6 C
@ A
5 2 9
13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную
погрешность нормы решения |
jj xjj1 |
. Указание: воспользоваться оценкой |
jj xjj1 |
6 (A) |
jj fjj1 |
. |
|||||||||||
|
jjxjj1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jjxjj1 |
jjfjj1 |
|||||
A = 0 |
2 |
|
8 |
9 |
1 |
; f = 0 |
3; 1 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9 |
5 |
9; 0 |
jj |
f |
jj1 |
= 0:2 |
|
|
||||||||
|
B |
1 |
1 |
8 |
C |
B |
5; 1 |
C |
|
|
|
|
|
||||
|
B |
|
|
|
C |
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
@ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации. |
|
|
|||||||||||||||
y00 y = 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y0(0) = 0; y0(2) + y(2) = 0; |
|
желаемый порядок аппроксимации p = 2. |
|||||||||||||||
15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.
y0 |
+ y = x |
|
yi+1 yi 1 |
+ yi = ih |
||
( y0 |
|
8 y2 |
2yh0 |
|
|
|
(0) = 1; y(2) = 0; |
< |
|
|
= 1; yn = 0 (где xn = 2) |
||
|
2h |
|||||
|
|
: |
|
|
|
|
16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в
решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).
0 4 |
14 |
|
8 |
0 |
0 |
1 |
0 6 |
1 |
|||
A = B |
14 |
7 |
0 |
0 |
0 |
C |
; f = B |
9 |
|
||
0 |
3 |
15 |
9 |
0 |
3 C |
||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
C |
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
C |
B |
0 |
0 |
|
8 |
|
15 |
6 |
C |
B |
3 |
C |
B |
0 |
0 |
|
|
|
10 |
15 |
C |
B |
5 |
C |
B |
0 |
|
C |
B |
C |
||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
C |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
A |
БДЗ №2 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
ИВТ-22, Тихонов Виктор Александро- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вич |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/
9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.
ф-ла y00 |
= |
|
1 |
(y0 |
|
2y1 + y2); функ. y(x) = sh x на отрезке [1; 3]; погр. = 10 8. |
|
2 |
|||||
0 |
|
h |
|
|||
10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.
I = Z1 |
3 |
S(h) = 2 |
n |
|
x3 ln x dx; |
i=1 (f(xi 1) + f(xi)) (ф-ла трапеций); h1 = 2=6; h2 = 2=10: |
|||
|
|
h |
||
|
|
|
|
X |
11. Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.
1 |
3 |
e2x |
dx |
|
Z8 |
||||
|
|
|
cos(3=x) |
|
12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:
jjxjj1 |
= i |
jxij, jjxjj2 |
= r |
|
|
xi2. |
|||||
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
i |
|
01
9 5 7
BC
B2 8 6 C
@ A
5 2 9
13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную
погрешность нормы решения |
jj xjj1 |
. Указание: воспользоваться оценкой |
jj xjj1 |
6 (A) |
jj fjj1 |
. |
||||||||||||
|
|
jjxjj1 |
5 9 |
1; f = |
0 8; 2 1; |
|
|
jjxjj1 |
jjfjj1 |
|||||||||
A = |
0 2 |
|
f |
|
= 0:3 |
|
|
|||||||||||
|
|
B |
9 |
|
2 |
5 |
C |
B |
3; 4 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
7 |
|
10 |
4; 4 |
jj |
jj1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
B |
|
|
|
|
C |
B |
|
C |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.
(
y00 2y0 = 3x;
желаемый порядок аппроксимации p = 2.
y0(0) = 1; y0(1) y(1) = 2;
15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.
|
|
|
|
3 |
yi 1 2yi + yi+1 |
|
yi+1 yi 1 |
= 1 |
|||||||
|
|
|
|
8 |
|
= 1; |
yn |
|
yn |
|
1 |
|
|
2h |
|
( y(0) = 1; y0(2) = 2; |
< y0 |
h2 |
|
|
|
= 2 (где xn = 2) |
|||||||||
3y00 |
|
y0 |
= 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
||
16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в
решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).
0 1 9 |
07 0 |
0 |
1 |
0 |
|
9 1 |
||||||
|
7 |
3 |
|
0 |
0 |
C |
|
10 |
|
|||
A = B 0 |
|
7 |
16 6 |
0 |
; f = B 9 C |
|||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
B |
0 |
0 |
7 |
12 |
2 |
C |
B |
|
5 |
C |
||
B |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
9 |
C |
B |
9 |
C |
||
B |
|
C |
B |
|
C |
|||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
A |