Пример расчета цены опционов по модели Блэка-Шоулеса

Рассмотрим опцион coll на акцию компании А, которая к моменту окончания срока опциона (через год) может иметь один из двух вариантов стоимости, при текущей стоимости в 110$.

РА1 = 150$;

РА2 = 70$;

E = 110$.

Пусть безрисковая норма доходности составляет 8%, в этом случае стоимость облигации, с первоначальной ценой 110$ вырастет при непрерывном начислении процентов на коэффициент e^rT.

Сумма займа = 110$;

e^rT = 1.0833

Pобл = 119,16

Таким образом существует 2 варианта развития событий для репликантного портфеля состоящего из безрисковой облигации и акции А

P_акц max

P_акц min

Текущая цена

Акция

150

70

110

Облигация

119,16

119,16

110

Опцион

=150-110=40

0 (исполнение опциона нецелесообразно)

?

Система уравнений выглядит следующим образом

Ns*150+Nb*119.16=40

Ns*70+Nb*119.16=0

Решая его, получаем

Ns = 0.5 – объем акций в портфеле

Nb = -0.294 – кол-во облигаций, подлежащий продаж

Таким образом, цена опциона на покупку составит

V₀^coll = 0,5*110-0,294*110=22,66$

Коэффициент хеджирования составит

h = (40-0)/(150-70)=0.5

Объем занимаемых средств составит

B = (0,5*70-0)/1,0833 = 32,31$

Стоимость же put опциона составит

V₀^put = (0,5-1)*110+(110-0,5*70+0)/1,0833= 14,23$

Наименование

Описание

DELTA (дельта)

(Δ, δ)

Отражает чувствительность стоимости опциона, к цене базового актива. Величина премии по опциону и цена базового актива изменяются в одном направлении. Дельта принимает максимальное значение для опционов "при деньгах" (у которых цена страйк совпадает с текущей ценой базовых акций) и стремится к 0 для опционов "глубоко в деньгах" или "глубоко вне денег".

У опциона collдельта имеет всегда положительное значение и при увеличении цены базового актива растёт от 0% до 100%.

Опцион putнапротив всегда имеет отрицательную дельту, принимающую значение от -100% до 0% при увеличении цены актива.

Главное применение дельты – определение взаимосвязи цены опциона и цены базового актива:

При дельте coll0,4 рост стоимости базового актива на 100 руб. приведет к росту стоимости опциона на 40 руб.

При дельте put-0,7 к росту стоимости опциона будет приводить уже падение цены базового актива, но пропорция между ценой опциона и ценой актива все равно будет зависеть от дельты.

GAMMA

(гамма)

(Γ, γ)

Выступает индикатором скорости, с которой изменяется ДЕЛЬТА. Она показывает, насколько изменится ДЕЛЬТА опциона при изменении цены Базового Актива на 1 пункт.

Это помогает снизить риск трейдера, потому что высокая Гамма означает, что дельта опциона очень чувствительна к изменениям.

THETA

(тета)

(Θ, θ )

Показывает зависимость стоимости опциона от изменения срока жизни опциона. Т. е. тета представляет, насколько пунктов ежедневно снижается цена опциона. Движение цены, которое отображает тета, называется временным распадом. Чем ближе истечение срока опциона, тем быстрее происходит временной распад, что всегда идёт на пользу продавцам опционов.

Тета измеряется в пунктах и всегда имеет отрицательное значение. Например, если тета равняется -0,2, то опцион, который стоит сегодня 2,2 доллара, завтра, при прочих равных, будет стоить 2,0 доллара.

KAPPA

(каппа)

(Κ, κ)

или

VEGA

(вега)

Показывает отношение изменения цены опциона к изменению волатильности базового актива. Волатильность измеряется в процентах, но Каппа измеряется в денежном выражении. При росте волатильность Каппа растёт и у опционов Колл и у опционов Пут.

Например, если Каппа равна 0,25, а премия опциона равна 10,0 долларам, то при снижении волатильности на 1%, новая цена опциона станет 9,75 доллара, а при повышении волатильности на 1%, цена опциона поднимется до 10,25 долларов

RHO

(Ро)

(Ρ, ρ)

Отражает степень чувствительности премии опциона к изменению процентной ставки. Процентная ставка оказывает относительно незначительное влияние на опционные контракты «в деньгах», при этом, чем больше срок их жизни, тем меньше это влияние.

Базовые опционные стратегии

Покупка стрэдла. Long Straddle.

Суть стратегии в единовременном приобретении опционов coll и put с одинаковыми датами и ценой исполнения. Такая стратегия применяется, когда ожидается рост волатильности рынка, т. е. динамика базисного активы будет носить сильный, но слабо прогнозируемый характер. Чаще всего это связано с макро-событиями в области политики, мировых и региональных макро-факторов экономики.

Таким образом приобретая Straddle (стрэдл) инвестор может получить прибыль при колебании рынка в любую сторону, а теряет лишь премии, уплаченные за опционы. Негативным фактором для такой стратегии является боковой тренд рынка, когда волатильность минимальна. Следует отметить, что приобретение подобных опционов, как правило, дорогостояще, т. как зона неэффективности использования опциона сильно ограничена.

Покупка стрэнгла. Long Strangle.

Суть стратегии в единовременном приобретении опционов coll и put с разной ценой исполнения, но с единой датой окончания контрактов. При это цена исполнения Coll-опциона (В) должна быть выше цены исполнения Put-опциона (А). Применение такой стратеги актуально в тех же случаях, что и применение Straddle, однако в данном случае из-за увеличения зоны неэффективности реализации опционов, премия уплачиваемая за их приобретение будет ниже.

Преимущества обоих представленных стратегий – в «неограниченности» прибыли в условиях высокой волатильности базисного актива

В случаях когда ожидается низковолатильный тренд базисного актива или всего рынка рекомендуется использовать короткую позицию по таким инструментам с целью получения дохода в размере премии от продаваемых опционов.