Gosy / Экзамен / 6. Фил. конкетных научных дисципли / Вопрос № 3
.docxСтратегии обоснования математики: логицизм, формализм, интуиционизм.
Логицизм- концепция, сводящая математику к логике. Согласно Л., логика и математика соотносятся между собой как части одной и той же науки: математика может быть получена из чистой логики без введения дополнительных основных понятий или дополнительных допущений. Под логикой при этом понимается теория дедуктивного рассуждения (см.: Дедукция). Л. восходит к идее Г. Лейбница (1646-1716) о “сводимости математики к логике”. Во второй половине прошлого века немецкий логик Г. Фреге (1848-1925) сформулировал арифметику чисто логически, но, столкнувшись с парадоксами, признал свою попытку безнадежной. В дальнейшем тезис Л. развивали англ. философы и логики Б. Рассел (1872-1970) и А. Уайтхед (1861-1947). Против идеи, что математические понятия можно свести к логическим понятиям с помощью явных определений и затем вывести математические теоремы из логических аксиом, обычно выдвигаются следующие возражения. Прежде всего, для сведения математики к логике приходится принимать аксиому бесконечности, предполагающую существование бесконечных множеств. Далее, вывод математики из логики в какой-то степени содержит круг. Всегда имеются необоснованные предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуитивно. Различение, что из этих предпосылок относится к математике, а что – к логике, лежащей в ее основе, носит субъективный и по существу произвольный характер. И наконец, в 1931 г. К. Гёдель показал, что все системы аксиоматически построенной арифметики существенно неполны: их средствами невозможно доказать некоторые содержательные истинные арифметические утверждения. Формализм возник в начале XX века в математической школе Гильберта в рамках попытки свести в единую систему строгие обоснования различных областей математики. Развивался сотрудниками (учениками) Гильберта Аккерманом, П. Бернайсом, фон Нейманом. В отличие от логицизма, формализм не претендовал на построение единой для всей математики формальной теории, наподобие теории множеств или теории типов. В отличие от интуиционизма, формализм не отказывался от построения теорий с «сомнительными» с точки зрения интуиции основаниями, лишь бы в них правила вывода теорем были строго обоснованы. Формалисты полагали, что математика должна изучать как можно больше формальных систем.
Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.