VIII. Закон сохранения момента импульса. Теорема штейнера. Кинетическая энергия вращающегося тела

1. Человек, стоящий на краю вращающейся горизонтальной платформы, переходит от края к центру. С какой скоростью начнет вращаться платформа, если масса ее 100кг, масса человека 60кг и она делала 10об/мин. Считать платформу круглым однородным диском, а человека - точечной массой.

2. Платформа в виде диска, радиус которого 1м и массой 200кг, вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1об/с. На краю платформы стоит человек массой 50кг. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если человек перейдет на полметра ближе к центру.

3. Медный шар радиусом 10см вращается со скоростью 2рад/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения шара вдвое?

4. Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью V. Кинетическая энергия обруча 4Дж. Найти кинетическую энергию диска.

5. Диск массой 1кг и диаметром 60см вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости, делая 2об/с. Какую работу надо совершить, чтобы остановить диск.

6. Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 9км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом 78кг, причем на колеса приходится 3кг. Колеса велосипеда считать обручами.

7. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10м на каждые 100м пути.

8. Маховик вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте n=10об/с, его кинетическая энергия W_к=7,85кДж. За сколько времени вращающий момент М=50Н•м, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость маховика в два раза?

9. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит мяч массой m=0,4кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью V=20м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r=0,8м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью w начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6кг•м²?

10. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R=2м, стоит человек массой m₁=80кг. Масса m₂ платформы равна 240кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью w будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью V=2м/с относительно платформы.

11. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m₁=60кг. На какой угол  повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса m₂ платформы равна 240кг. Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки.

12. Платформа в виде диска радиусом R=1м вращается по инерции с частотой n₁=6мин^-1. На краю платформы стоит человек, масса m которого равна 80кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платформы равен 120кг•м². Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

13. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длинной l=2,4м и массой m=8кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой n₁=1c^-1. С какой частотой n₂ будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6кг•м².

14. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой n=10с^-1. Радиус R колеса равен 20см, его масса m=3кг. Определить частоту вращения n₂ скамьи, если человек повернет стержень на угол 180⁰? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6кг•м². Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.

15. Со шкива диаметром d=0,48м через ремень передается мощность N=9кВт. Шкив вращается с частотой n=240мин^-1. Сила натяжения T₁ ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения T₂ ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей ремня.

16. Маховик в виде диска массой m=80кг и радиусом R=30см находится в состоянии покоя. Какую работу A₁ нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n=10с^-1? Какую работу A₂ пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

17. Кинетическая энергия T вращающегося маховика равна 1кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно, и, сделав N=80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения M.

18. Сплошной цилиндр массой m=4кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость V оси цилиндра равна 1м/с. Определить полную кинетическую энергию T цилиндра.

19. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m=2кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью V=5м/с. Найти кинетические энергии T₁ и T₂ этих тел.

20. Тонкий прямой стержень длиной l=1м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол =60⁰ от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость V нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия.

21. Определить линейную скорость V центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h=1м.

22. Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длинной l=1м и высотой h=10см?

23. Пуля массой m=10г летит со скоростью V=800м/с, вращаясь около продольной оси с частотой n=3000с^-1. Принимая пулю за цилиндрик диаметром d=8мм, определить полную кинетическую энергию T пули.

24. Маховик, момент инерции J которого равен 40кг•м², начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента сил M=20Н•м. Вращение продолжалось в течение t=10с. Определить кинетическую энергию T, приобретенную маховиком.

25. Шар массой 1кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку 10см/с, а после удара 8см/с. Найти количество теплоты, выделившееся при ударе.

26. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75об. Работа сил торможения равна 44,4Дж. Найти момент инерции вентилятора, момент сил торможения.

27. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой 1кг. На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило скорость, соответствующую частоте 60об/мин? Момент инерции колеса со шкивом 0,42кг•м², радиус шкива 10см.

28. Горизонтальная платформа массой 100кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через цент платформы, делает 10об/мин. Человек массой 60кг стоит на краю платформы. Какую работу совершит человек при переходе от края платформы к ее центру? Радиус платформы 1,5м.

29. Горизонтальная платформа массой 80кг и радиусом 1м вращается с угловой скоростью, соответствующей частоте 20об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 2,94 до 0,98кг•м²?

30. Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня 0,5м. Найти период колебаний стержня.

16