2 Метод частотных характеристик

2.1 Основные понятия

Линейные цепи обладают уникальным свойством: если на вход цепи подавать гармонический сигнал

,

то на выходе, независимо от типа линейной цепи, всегда будет тоже гармонический сигнал, отличающийся от входного амплитудой и фазой:

,

где – комплексный коэффициент передачи линейной цепи., где– модуль коэффициента передачи цепи. Он показывает, во сколько раз изменяется амплитуда сигнала после прохождения электрической цепи. Аргумент коэффициента передачипоказывает сдвиг по фазе выходного сигнала, прошедшего электрическую цепь, относительно входного.Сигнал, проходя через электрическую цепь, не искажается, если цепь имеет следующие идеализированные амплитудно-частотные (АЧХ) и фазочастотные (ФЧХ) характеристики:

Рисунок 1 – Амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики идеальной цепи, пропускающей сигналы без искажений

То есть, условиями неискаженной передачи сигнала являются: постоянство модуля коэффициента передачи цепи во всем исследуемом диапазоне частот (=const.) и линейная зависимость фазового сдвига от частоты (). Для реальной линейной цепи модуль коэффициента передачи зависит от частоты, а зависимость, как правило, нелинейная. Для каждой конкретной линейной цепи АЧХ и ФЧХ можно определить экспериментально или рассчитать теоретически. Рассмотрим простейшие линейные цепи и методы расчета модуля и аргумента комплексного коэффициента передачи этих цепей.

2.2 Пассивная дифференцирующая rc цепь.

Дифференцирующими называются четырехполюсники, напряжение на выходе которых пропорционально производной по времени от напряжения на входе, т.е. четырехполюсники, в которых выполняются условия

. (1)

В качестве дифференцирующего элемента в таких цепях удобно использовать конденсатор, поскольку мгновенные значения напряжения и ток в нем связаны соотношением

. (2)

Следовательно, если собрать цепь, в которой выходное напряжение пропорционально току , текущему через конденсатор, то она будет дифференцирующей. Чтобы выходное напряжение было пропорционально току, его следует снимать с резистора, включенного последовательно с конденсатором (рисунок 2).

Рисунок 2 – Схема дифференцирующей RC цепи

В этом случае форма выходного напряжения повторяет форму тока в цепи. Но ток в цепи оказывается пропорциональным производной по времени не от входного напряжения, а от напряжения на конденсаторе (2)

. (3)

Напряжения в цепи связаны соотношением: . Откуда. Тогда

. (4)

Если , то

. (5)

Воспользуемся приближенным соотношением (5) и подставим его в (1):

.

Тогда, если , то

, (6)

т.е. данная RC-цепь дифференцирует сигналы только при малых значениях . Чем больше значения сопротивленияи емкости конденсатораC, тем больше выходное напряжение , и тем сильнее форма выходного напряжения отличается от производной входного напряжения по времени. Очевидно, что цепь, показанная на рисунке 1, близка к дифференцирующей при , поскольку только в этом случае.

Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через дифференцирующую цепь. Подадим на вход схемы (рисунок 2) гармонический сигнал . На выходе схемы появится сигнал. Определим комплексный коэффициент передачи дифференцирующей цепи по формуле:

.

Напряжение представляет собой сумму падений напряжений на конденсатореи на резисторе. Поэтому можно записать:

, где , Тогда.

Выделяя действительную и мнимую части , запишем выражения для модуля коэффициента передачи и аргумента:

. (7)

Видно, что модуль коэффициента передачи дифференцирующей цепи и аргумент зависят от частоты.

Проанализируем частотную зависимость модуля коэффициента передачи :

• Пусть , то есть колебания напряжения практически отсутствуют, что соответствует постоянному току. В этом случае, т.к. при стремлении частоты входного сигнала к нулю реактивное сопротивление конденсатора. В эквивалентной схеме дифференцирующей цепи конденсаторуC соответствует разрыв цепи (рисунок 3). При этом , т.е. сигнал не проходитдифференцирующую цепь.

• В области высоких частот (при стремлении частоты входного сигнала к бесконечности) реактивное сопротивление конденсатора стремится к нулю и конденсатор в эквивалентной схеме дифференцирующей цепи можно заменить коротким замыканием (рисунок 4). При этом , т.е. сигнал проходитцепьбез искажений.

  Рисунок 3 – Эквивалентная схема дифференцирующей RC цепи при .

  Рисунок 4 – Эквивалентная схема дифференцирующей RC цепи при .

• При частоте равной граничной частоте . Принято считать, что в области частот, гдесигнал практически не искажается.

Результаты анализа позволяют изобразить качественно амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) дифференцирующей цепи (рисунок 5).

Рисунок 5 – Амплитудно-частотная характеристика дифференцирующей цепи

Рисунок 6 – Фазочастотная характеристика дифференцирующей цепи

Проанализируем характер поведения аргумента комплексного коэффициента передачи от частоты, то есть зависимость сдвига фазы от частоты выходного сигнала, прошедшего дифференцирующую цепь, относительно входного. Согласно формуле (7) :

• в области низких частот при стремлении  к нулю и, то есть выходное напряжение опережает входное на четверть периода.

• в области высоких частот при и, то есть выходное и входное напряжения синфазны.

• при tg=1 и =45⁰, то есть выходное напряжение опережает входное на восьмую часть периода.

Результаты анализа позволяют изобразить фазочастотную характеристику (ФЧХ) дифференцирующей цепи (рисунок 6).

Частотные зависимости модуля коэффициента передачи и сдвига фаз иногда представляют в виде: и. А так как частоты исвязаны линейным соотношением, то графики АЧХ и имеют одинаковый вид, так же как ФЧХ и.

Определим условие точного дифференцирования гармонического сигнала.

Подадим на вход дифференцирующей цепи гармонический сигнал:

.

Выходной сигнал будет равен

,

или .

Обозначим .U_2m – амплитуда выходного сигнала. Тогда

.

От сюда видно, что гармонический сигнал точно дифференцируется, если выходной сигнал опережает входной по фазе на .

Сложный периодический сигнал можно представить в виде гармоник с различными амплитудами и частотами кратными основной частоте. Чтобы выполнялось условие точного дифференцирования сложного сигнала, необходимо, чтобы для любой гармоники выходного напряжения опережало ее входное напряжение на . Но. На практике можно брать. С другой стороны. Но, следовательно,. Тогдаоткуда следуетт.е. точное дифференцирование сигналов происходит в очень узкой области частот на низких частотах, где коэффициент передачи дифференциальной цепи очень мал (рисунок 5).

Таким образом, дифференцирующая цепь точно дифференцирует сигналы только при коэффициенте передачи, близком к 0. По мере увеличения величины C коэффициент передачи возрастает, а форма выходного напряжения все больше становится отличной от значений, все, более приближаясь к форме входного напряжения. Прицепь из дифференцирующей превращается в разделительную, фаза при этом стремится к 0 (рисунок 6).

Таким образом, дифференцирующими являются цепи, в которых или, где – постоянная времени цепи,– период (для периодических) или длительность (для непериодических) сигналов. Несмотря на то, что получить идеальное дифференцирование не представляется возможным, дифференцирующие цепи, собранные на пассивных-элементах широко используются на практике. Подобные цепи применяют чаще всего для получения узких коротких импульсов с крутыми фронтами, а вовсе не для математического дифференцирования.

Частотой, при которой цепь еще не искажает сигнала, считают граничную частоту цепи равную . Оценим диапазон частот, в котором выполняется условие точного дифференцирования сигнала.