- •ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
- •Типы векторов
- •Матрица
- •Типы матриц
- •Характеристики и операции
- •Исполняемая процедура
- •Норма матрицы (Эвклидова).
- •Сложение и вычитание векторов.
- •Сложение и вычитание матриц.
- •Скалярное произведение векторов
- •Умножение матриц.
- •Вызываемая процедура
- •Обращение матрицы методом Гаусса-Жордана
- •Текстуальный алгоритм метода Гаусса-Жордана состоит из четырёх этапов.
ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
Вектор
С упорядоченной последовательностью действительных чисел a1,a2,a3,…,an-1,an
можно связать понятие связанного вектора в n-мерном пространстве и
обозначить как: |
a1 |
|
|
|
|||
|
a |
2 |
|
|
|
||
a |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
или понятие точки A(a1,a2,a3,…,an).
Числа a1,a2,a3,…,an называются элементами(проекциями) вектора a или
координатами точки A, а количество элементов в векторе называется размерностью этого вектора. Положение элемента ai определяется индексом i,
где i = 1,2,· ··,n. Элементы вектора записываются в виде столбца. |
1 |
|
Типы векторов
Нулевой вектор – вектор, все компоненты которого равны нулю и обозначается как:
Единичный вектор – вектор, длина |
|
0.6 |
; |
||
которого равна единице: |
|||||
a |
|
|
|||
|
|
0.8 |
|
0
0 0 .
.
0
0.62 0.82 1
|
|
a1 |
|
|
Транспонированный вектор - вектор, который |
|
a |
2 |
|
представлен строкой. |
|
|
||
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
aT a1 a2 . . . . an 1 an
2
Матрица
Совокупность чисел расположенных в прямоугольной таблице, состоящей из n строк и m столбцов, называется матрицей и обозначается как:
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a1m |
|
|
|
a22 |
a23 |
a2m |
|
|
A A a21 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
|
|
|
|
|
an1 |
an3 anm |
Положение элемента aij в матрице определяется двумя индексами (i и j), где i определяет номер строки , а j – номер столбца .
3
Типы матриц
Матрица, состоящая из одной строки – называется вектор строка n=1 Матрица, состоящая из одного столбца – называется вектор столбец m=1 Если n равно m матрица называется квадратной
Верхне треугольная aij=0 при i>j
Нижне треугольная |
aij=0 при i<j |
Диагональная |
aij 0 при i j |
|
a |
|
|
1 при i j |
|
|
|
|
|
||
Единичная |
|
ij |
|
0 при i j |
|
Транспонированная – матрица в которой строки заменены на |
|
||||
соответствующие столбцы |
|
|
|
||
a tj,i ai, j |
, |
где i 1,2,3,...,n; j 1,2,3,...,m |
|
||
|
|
|
|
|
j=1,2,3,…,m 4 |
Равенство матриц |
A B |
т.е. aij= bij где i=1,2,3,…,n |
Характеристики и операции
Норма (длина) вектора
|
|
|
|
n |
|
a |
ai2 |
|
|
|
i 1 |
Пример.
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
2 |
3 |
3.61 |
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начало
n, a
s:=0
i:=1 шаг 1 до n
s : s ai2
s : s
s
Конец 5
Исполняемая процедура
Option base 1
Sub NormaVectora()
Dim n As Integer, a() As Single Dim s As Single, i As Integer n = Cells(2, 1)
Redim a(n) For i= 1 to n
a(i) = Cells(i + 3, 1) Next i
Cells(2, 3) = NVec(n,a) End Sub
Вызываемая функция
Function NVec(Nrow%, a!()) As Single Dim s As Single
Dim i As Integer s = 0
For i = 1 to Nrow s = s + a(i) * a(i) Next i
NVec = sqr(s) End Function
6
Норма матрицы (Эвклидова).
|
|
n m |
A |
ai2, j |
|
|
|
i 1 j 1 |
Исполняемая процедура
Option base 1 Sub NormaMatrix()
Dim n%, m%, a!()
Dim i As Integer, j As Integer, s As Single n=Cells(2, 1)
m= Cells(2, 2) Redim a(n,m) For i = 1 to n For j = 1 to m
a(i, j) = Cells(3 + i, j) Next j
Next i
Cells(2, 3) = NormM(n,m,a) End Sub
Вызываемая функция
Function NormM(Nrow%, Ncol%, A!()) Dim i As Integer, j As Integer
Dim s As Single s = 0
For i = 1 to Nrow For j = 1 to Ncol s = s + A(i, j)^2 Next j
Next i
NormM = sqr(s) End Function
7
Сложение и вычитание векторов.
Складывать или вычитать можно только вектора с одинаковой размерностью.
|
|
|
c |
a |
b |
Исполняемая процедур
Option base 1 Sub AddVector()
Dim n%, a!(), b!(), c!() Dim i As Integer n=Cells(2,1)
Redim a(n), b(n), c(n) For i = 1 to n
a(i)=Cells(3 + i, 1) b(i)=Cells(3 + i, 2)
Next i
Call AddV(n,a,b,c) For i= 1 to n
Cells(3 + i, 3)=c(i) Next i
End Sub
ci ai bi , i 1,2,3,..,n
Вызываемая процедура
Sub AddV(Nrow%, a!(), b!(), r!()) Dim i As Integer
For i = 1 to Nrow r(i) = a(i) + b(i) next i
End Sub
8
Сложение и вычитание матриц.
Складывать или вычитать можно только матрицы с одинаковой размерностью.
|
|
|
|
C |
A B; |
cij aij bij, i 1,2,3,...,n; |
j 1,2,3,...,m |
Вызываемая процедура
Sub AddM(Nrow As Integer, Ncol As Integer, A() As Single, B() As Single, C() As Single) Dim i As Integer, j As Integer
For i = 1 to Nrow For j = 1 to Ncol
C(i, j) = A(i, j) + B(i, j) Next j
Next i
End Sub
Умножение вектора на константу.
|
|
|
|
|
|
c |
a |
ci ai , i 1,2,3,...,n |
|
|
Умножение матрицы на константу. |
|
||
|
|
|
i 1,2,3,...,n; j 1,2,3,...,m |
9 |
C |
A; ci, j ai, j |
Скалярное произведение векторов
Это значение суммы произведений соответствующих компонент двух векторов.
|
|
n |
a |
b |
, i 1,2,3,..., n |
|
|
|
|
||
z ( a , b ) aT b |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
2 |
|
4 |
4 |
2 4 3 5 23 |
||
|
|
|
a |
|
b |
|
z 2 3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
5 |
|
Вызываемая функция
Function Scal(Nrow As Integer, a() As Single, b() As Single) Dim i As Integer, s As Single
s = 0
For i = 1 to Nrow s = s + a(i) * b(i) Next i
Scal = s End Function
10