гидравлика 2 / Задача 6
.pdf
Задача 6
В сосуд через отверстие в верхней крышке залита жидкость Ж до уровня ½ Н (Н – высота сосуда) при атмосферном давлении воздуха рат=98 кПа.
Как изменится положение уровня жидкости в сосуде и давление воздуха в нем, если в сосуд через отверстие в верхней крышке опустить плунжер, диаметр которого d и масса m. Диаметр сосуда D. Процесс сжатия воздуха, замкнутого в сосуде, считать изотермическим; трением плунжера в направляющей втулке пренебречь.
Н=4 м, D=2 м, d=0.7 м, m=900 кг.
Решение
Запишем уравнение равновесия плунжера под действием на него собственного веса и силы давления на нижний торец (трением плунжера в направляющей втулке согласно условию пренебрегаем):
где G – вес плунжера;
где m – масса плунжера;
g – ускорение свободного падения;
Р– сила давления на нижний торец плунжера;
где р – давление в жидкости на уровне нижнего торца плунжера; S – площадь нижнего торца плунжера;
где d – диаметр плунжера. Учитывая направления действия сил, получим
(1)
Обозначим повышение уровня жидкости в сосуде относительно первоначального уровня при опускании в него плунжера h, а погружение нижнего торца плунжера под первоначальный уровень жидкости z.
Считая жидкость несжимаемой, примем, что повышение уровня жидкости в сосуде будет определяться объемом жидкости, вытесненным плунжером. Тогда можно записать:
Рассмотрим процесс сжатия воздуха в сосуде, считая его согласно условию изотермическим (pV=const):
Воспользуемся основным уравнением гидростатики, согласно которому давление в любой точке жидкости, можно определить как
где р0 – давление над поверхностью жидкости; ргст – гидростатическое давление от столба жидкости.
Гидростатическое давление от столба жидкости определяется по формуле:
где ρ – плотность жидкости;
g – ускорение свободного падения; h – высота столба жидкости.
Тогда давление на уровне нижнего торца плунжера можно определить как
Приравнивая полученное выражение к выражению (1), получим:
Так как свойства жидкости по условию не заданы, то решим задачу в предположении, что в сосуде находится вода плотностью ρ=1000 кг/м3.
Подставив числовые значения величин в полученное выражение, получим:
Определим давление воздуха в сосуде
