Правило сложения дисперсий

Если совокупность разбита на группы по факторному признаку, то общая дисперсия признака может быть определена как суммамежгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий :

Общая дисперсия характеризует вариацию признака по всей совокупности как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности.

,

где - дисперсия признака в группеi (внутригрупповая дисперсия);

х – индивидуальное значение признака;

- среднее значение признака в группе i;

n – число наблюдений в группе i.

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка. Другими словами, внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию.

где - среднее значение признака в совокупности.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки.

Отношение межгрупповой дисперсии к общей дает возможность измерить вариацию результативного признака за счет факторного, то есть признака, положенного в основание группировки, и тем самым судить о связи между изучаемыми признаками:

,

где - коэффициент детерминации.

Корень квадратный из коэффициента детерминации называют эмпирическим корреляционным отношением:

.

Эмпирическое корреляционное отношение показывает какую часть общей колеблемости результативного признака определяет изучаемый фактор, т.е. характеризует влияние группировочного признака на результативный признак. Этот показатель принимает значения в интервале [0,1]. Если связь отсутствует, то =0. В этом случае дисперсия групповых средних равна нулю (=0), т.е. все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака х. Если связь функциональная, то. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии ((т.е. не будет внутригрупповой дисперсии. Это означает, что группировочный признак полностью определяет вариацию изучаемого признака, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Приравной [0,1] связь является умеренной.

Пример. С целью установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 10 кустах винограда:

Наименование сорта винограда	Число проверенных кустов	Урожай винограда с каждого куста, кг.
		Куст №1	Куст № 2	Куст № 3	Куст №4	Куст № 5
Сорт «А»	3	6	5	7	-	-
Сорт «Б»	5	7	6	8	5	9
Сорт «В»	2	9	7	-	-	-

Исчислите общую, межгрупповую и среднюю из групповых (частных) дисперсий. Определите связь между сортом и его урожайностью.

1. Групповые средние, т.е. средняя урожайность по каждому сорту винограда, равны:

кг

2. Определяем среднюю урожайность винограда по хозяйству:

кг.

3. Определяем внутригрупповую (частную) дисперсию урожайности для каждого сорта отдельно:

4. Средняя из частных дисперсий:

5. Межгрупповая дисперсия:

6. Определяем общую дисперсию урожайности по всей совокупности, используя правило сложения дисперсий:

.

7. Проверим этот вывод путем расчета общей дисперсии обычным способом:

8. Определим коэффициент детерминации -

или 26 %.

Таким образом, только на 26 % вариация урожайности обусловлена различиями между сортами, а на 74 % - другими факторами (характером почвы, удобренностью участков, поливом и т.п.)

9. Определяем эмпирическое корреляционное отношение:

.

Следовательно, можно утверждать, что связь умеренная.

46