Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ 1

5.1.Концепция численного интегрирования 2

5.2.Простейшие методы 2

5.3.Метод Симпсона 5

5.4.Метод Ньютона-Koтeca 7

5.5.Методы Чебышева и Гаусса 7

Вычисление интегралов встречается при моделировании достаточно часто. Численные методы обычно применяются при взятии неберущихся интегралов от достаточно сложных функций, которые предварительно табулируются, или при интегрировании таблично заданных функций, что в экономических приложениях встречается значительно чаще

1. Концепция численного интегрирования

Все численные методы строятся на том, что подынтегральная функция приближенно заменяется более простой (горизонтальной или наклонной прямой, параболой 2-го, 3-го или более высокого порядка), от которой интеграл легко берется. В результате получаются формулы интегрирования, называемые квадратурными, в виде взвешенной суммы ординат подынтегральной функции в отдельных точках:

≈ ∑ w_i f(x_i)

Чем меньше интервалы, на которых производят замену, тем точнее вычисляется интеграл. Поэтому исходный отрезок [а, b] для повышения точности делят на несколько равных или неравных интервалов, на каждом из которых применяют формулу интегрирования, а затем складывают результаты.

Все методы различаются значениями ординат х_iи весовw_i.

В большинстве случаев погрешность численного интегрирования определяется путем двойного интегрирования: с исходным шагом (шаг определяется путем равномерного деления отрезка b- а на число отрезковn:h=(b-a)/n) и с шагом, увеличенным в 2 раза. Разница вычисленных значений интегралов определяет погрешность.

Сравнение эффективности различных методов проводится по степени полинома, который данным методом интегрируется точно, без ошибки. Чем выше степень такого полинома, тем выше точность метода, тем он эффективнее.

2. Простейшие методы

К простейшим методам можно отнести методы прямоугольников (левых и правых) и трапеций. В первом случае подынтегральная функция заменяется горизонтальной прямой (у = с₀) со значением ординаты, т.е. значения функции соответственно слева или справа участка, во втором случае – наклонной прямой, (у = с₁х + с₀). Формулы интегрирования при разбиении отрезка [а,b] на n частей с равномерным шагомhсоответственно приобретают вид:

∙ (n = 1)

1) I = ≈ f(a)*(b-a) = f(x₀)h

2) I = ≈ f(b)*(b-a) = f(x₁)h

3) I = ≈ ((f(a)+f(b))/2)*(b-a) = f(x₀)h/2 + f(x₁)h/2

Для nучастков интегрирования :

1. I= ≈ (x_i)*h= (x_i)*w_i

2. I = ≈ (x_i)*h = (x_i)*w_i

w_i = h = const

3. I = ≈ ((x_i ) + f(x_i+1 )/2)*h = f(x₀ )*(h/2) + f(x_n )*(h/2) + _i * f(x_i)

w₀ =w_n=h/2

w₁ =w₂ = … =w_n-1 =h

Нетрудно заметить, что в методе прямоугольников интеграл вычислится абсолютно точно только при f(x) = с (const), а в методе трапеций – приf(x) линейной или кусочно-линейной.

Метод прямоугольников не находит практического применения в силу значительных погрешностей.

По сравнению с методом прямоугольников метод трапеций более точный, так как трапеция точнее заменяет соответствующую криволинейную трапецию, чем прямоугольник.

Погрешность Rвычисления интеграла методом трапеций при использовании двойного просчета на практике может быть определена из следующего соотношения:

R≤ (|I_n–I_n/2|)/3

где I_nиI_n/2- соответственно значения интеграла при числе разбиений n иn/2.

Существуют и аналитические выражения для определения погрешности, но они требуют знания второй производной подынтегральной функции, поэтому имеют только теоретическое значение. С использованием двойного просчета можно организовать автоматический подбор шага интегрирования (т.е. числа разбиений n) для обеспечения заданной погрешности интегрирования (последовательно удваивая шаг и контролируя погрешность).

Пример 5.1. Вычислить

I = = arctg(1) – arctg(0) = 0.7853981634

для всего интервала и с делением интервала на четыре участка.

1) h= 1, х₀= 0;х₁= 1;

2) h=0,25 (1/4),x₀= 0, х₁ = 0,25,x₂= 0,5,x₃ = 0,75, х₄= 1,

f(x) = 1/(1+x²)

I_л.пр.= ≈f(x₀)h= 1/(1+0) *1 = 1 (по избытку)

I_п.пр. = ≈f(x₁)h= 1/(1+1)*1 = 0.5 (по недостатку)

I_тр. = ((f(a) + f(b))/2)(b-a) = f(x₀ )*h/2 + f(x₁)*h/2 = 0,5 + 0,5² = 0,75

2) n = 4

h = 0.25 = (1-0)/4

x₀ = a = 0 x₁ = 0.25 x₂ = 0.5 x₃ = 0.75 x₄ = 1

I _л.пр.= ((1/1+0)*0,25) + ((1/(1+0,25²))*0,25) + ((1/1+0,5²))*0,25) + ((1/(1+0,75²)*0,25) = 0,8453

I_п.пр.= 0,7203

I_тр.= 0,78279412

Пример 5.2. Вычислить интеграл: методом трапеций.

Здесь a=0.7,b=1.3,

1. n=10 .

Формула для вычислений:

Вычисления выполним в табличном редакторе Excel:

2. n=5 .

Формула для вычислений:

Вычисления выполним в табличном редакторе Excel:

3. Погрешность оценим по формуле:

ОТВЕТ: .