2.матан.интегралы / КратныеИнтегралы / ТройнойИнтеграл / ЦилиндрСК

Тройные интегралы в цилиндрических координатах

В цилиндрических координатах положе-

ние точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy,

φ − угол, образованный этим радиусомвектором с осью Ox (рис.1),

z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах). Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Рис.1

Здесь предполагается, что

Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен ρ. Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:

Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Пример. Вычислить интеграл

где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1 (рис.2).

Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость Oxy представляет собой круг x2 + y2 ≤ 1 или 0 ≤ ρ ≤ 1 (рис.3). Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде