2.матан.интегралы / ПоверхностныеИнт / ФормулаОстроградского

Теорема Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное ограниченное кубируемое тело, такое, что его можно разбить на конечное число цилиндрических частей по каждой из осей. Такое тело назовем простым. Пусть G- простое тело, ограниченное кусочно-непрерывной гладкой замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные первого порядка на G и его границе. Со-

гласно формуле Остроградского-Гаусса

где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности S, а через

обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности. Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами. Данную формулу можно записать также в координатной форме

В частном случае, полагая P=x/3, Q=y/3, R=z/3, получаем, что ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z =1 . И так как объем

тела G вычисляется как тройной интеграл от функции, равной единице, взятому по G, то получаем еще одну формулу для вычисления объема тела G

Пример 1.Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентиро-

ванная поверхность сферы, заданная уравнением x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . Решение. Используя формулу Остроградского-Гаусса, можно записать

Вычислим полученный тройной интеграл в сферических формулах x = r cosψ sinθ , y = r sinψ sinθ , z = r cosθ , r ³ 0 , 0 £ψ £ 2π , 0 £ θ £ π . Якобиан перехода равен r 2 sinθ .

Пример 2 Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл от векторного r

поля F (x, y, z) = (x, y, z) , S − поверхность тела, образованного цилиндром x 2 + y 2 = a 2 и пл. z = −1, z = 1.

Решение. В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса

Переходя к цилиндрическим координатам, получаем