2.матан.интегралы / ПоверхностныеИнт / ГеомПрилож

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Площадь поверхности

Пусть S является гладкой кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом

Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора

то площадь поверхности будет равна

где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность, под знаком интеграла стоит модуль соответствующего векторного произведения.

Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности

где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость Оxy.

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью

Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

Пример 1.

Вычислить площадь поверхности части сферы z 2 = 25 − x 2 − y 2 , лежащей выше пл. Оxy. Решение. Площади заданной поверхности равна

Переходя к полярным координатам, находим

Пример 2. Найти площадь полусферы радиуса R.

Решение. В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в виде

Вычислим дифференциальный элемент площади dS. Д ля этого найдем производные векторов

Найдем нужное векторное произведение, раскладывая определитель по первой строке.

Следовательно, дифференциальный элемент площади будет равен

Тогда площадь полусферы

Пример 3.

Вычислить объем эллипсоида.

Решение. Для нахождения объема используем формулу

Поверхность эллипсоида можно представить в параметрической форме следующим образом:

Переменные u,v соответствуют сферическим координатам ψ и θ.) В формуле для объема векторное поле имеет координаты F (x, y, z) , поэтому

Следовательно, объем эллипсоида равен