Лекция № 3. Спектральные характеристики сигналов

3.1. Спектральное представление периодических сигналов

Как известно, разложение периодического сигнала по базису тригонометрических функций – это разложение его в ряд Фурье.

Разложение сигнала в ряд Фурье называется спектром сигнала.

В общем случае периодический сигнал содержит независящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, или гармоник, с частотами, кратными основной частоте последовательности.

Графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала называется спектральной диаграммой.

По горизонтальной оси откладываются частоты гармоник, а по вертикали – амплитуды (амплитудная диаграмма) или начальные фазы (фазовая диаграмма).

При разложении в комплексный ряд Фурье:

(3.1)

где .

Спектр сигнала содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём С-k = Сk* (* обозначено комплексно-сопряжённое число).

Между коэффициентами комплексного и тригонометрического ряда существует связь:

(3.2) Шириной спектра сигнала Fэ называется полоса частот, в пределах

которой заключена основная доля энергии сигнала.

В качестве примера рассчитаем спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов c амплитудой А:

Рис. 3.1

Определим коэффициенты разложения в ряд Фурье Cк:

3.2. Спектральное представление непериодических сигналов

Для спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов s(t), заданных на конечном интервале (t1, t2) (рис. 3.3),

непосредственно воспользоваться рядом Фурье нельзя.

Для гармонического разложения сигнала мысленно дополняют его такими же импульсными сигналами до периодического с некоторым интервалом Т (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Импульсный сигнал s(t) и его периодическое продолжение sпер(t+kT)

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импульсов.

В пределе, при увеличении периода Т → ∞ все импульсы уйдут право и влево в бесконечность и периодическая последовательность вновь станет одиночным импульсом.

Для вычисления спектра удобна симметричная комплексная форма ряда Фурье, но в нем вместо суммы будет интеграл с бесконечными пределами (преобразование Фурье):

(3.3)

При таком предельном переходе основная частота сигнала Ω = 2π/T стремится к нулю, бесконечно увеличивается число спектральных составляющих, частоты соседних гармоник kΩ и (k + 1)Ω становятся неразличимыми, а спектр будет сплошным.

Функция G(jΩ) называется спектральной плотностью сигнала х(t).

Функции G(jΩ) и s(t) представляют собой две математические модели одного и того же физического процесса: одна из них отражает частотный состав сигнала, а другая описывает изменение сигнала с течением времени.

Спектральная плотность сигнала определяется с использованием прямого преобразования Фурье:

(3.4)

Таким образом, формулы (3.3) и (3.4) называются соответственно обратным и прямым преобразованиями Фурье. Они дают взаимосвязь между сигналом s(t) и его комплексной спектральной плотностью G(jΩ).

Для одиночного прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью на рис. 3.3 получим спектр S(jΩ) на рис. 3.4:

Это выражение с учетом формулы Эйлера можно переписать в виде:

(3.5)

Спектр непериодического сигнала сплошной, бесконечный, ширина спектра определяется длительностью сигнала и, приближённо, равна

Fэ ≈2 / .

3.3. Основные свойства преобразования Фурье:

Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.

1. Линейность.

Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

(3.6)

Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирование спектров приведен на рис. 3.5:

Рис. 3.5. Сигналы и их спектры. s0(k)=s1(k)+s2(k) S1(ω)+S2(ω) = S0(ω).

2. Свойства четности преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

На рис. 3.6. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s1(k) является четным, s1(k) = s1(-k), и имеет

только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s2(k)= -s2(-k)

нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть.

Сигнал s3(k) образован суммой сигналов s1(k) и s2(k). Соответственно,

спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s1(k)), и мнимой нечетной частью

(принадлежащей s2(k)).

При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S3(ω), равно как и любых других комплексных

спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.

Заметим, что произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (в интервале 0 – Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от -Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от -Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.

Сигнал s(t), спектр S(ω). При этом если: s(t) – четный, то S(ω) – вещественный, четный;

s(t) – нечетный, то S(ω) – мнимый, нечетный

s(t) – произвольный, то S(ω) – действительная часть – четная, а мнимая часть – нечетная.

Рис. 3.6. Свойства четности преобразования