kontra_po_tfkp_za_03-04_gg_s_resheniami / z4_v34

2

Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов

2003/2004 34

4	Применяя теорию вычетов вычислить интеграл .

  Шабунин, Сидоров стр. 140 – 145 (примеры 6 стр. 144), Половинкин стр. 103 – 108 (пример 3 стр. 107 – 108)

 Замечая, что = = ,

для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл

и воспользоваться формулой

= = . (1)

 Для того чтобы применить теорему Коши¹ о вычетах², вводим функцию комплексной переменной

и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси и полуокружности , выбрав так, чтобы все особые точки функции , лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах

= . (2)

 Переходим к пределу при . Так как в нашем случае есть правильная рациональная дробь и , то условия леммы Жордана³ выполнены и, следовательно, .

Поскольку правая часть в (2) не зависит от , имеем

= , (3)

где - особые точки функции , лежащие в верхней полуплоскости.

 Находим особые точки функции = как нули (1-го порядка) ее знаменателя: и . Таким образом, точки и - полюса⁴ 1-го порядка (ПП – простые полюса).

 Вычисляем вычет в простом полюсе по формуле . Получаем = =

 Вычисляем несобственный интеграл по формуле (3):

= = = = = .

 Используя формулу (1), находим искомый интеграл:

= = = = =

Ответ: =

1 Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей . Пусть функция определена и регулярна на всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек (при этом имеется в виду, что, если , то ) и пусть к тому же функция непрерывно продолжима на границу области . Тогда справедлива формула .

2 Определение. Пусть изолированная особая точка функции , . Пусть - положительно ориентированная окружность, причем . Тогда вычетом функции в точке называется число .

3 Лемма (Жордан). Пусть - непрерывная функция на замкнутом множестве . Пусть число и , - семейство полуокружностей в верхней полуплоскости. Обозначим при . Если ,то .

4 Определение. Изолированная особая точка функции называется полюсом, если существует предел .