kontra_po_tfkp_za_03-04_gg_s_resheniami / z2_v33

1

Разложение в ряд Лорана

2003/2004 33

2	Разложить в ряд Лорана по степеням функцию в кольце, которому принадлежит точка . Указать границы кольца сходимости.

  Шабунин, Сидоров стр. 70 – 75 (примеры 1, 2 стр. 73 – 75), Половинкин стр. 78 – 85 (пример 1 стр. 83 – 84)

 Дробь правильная.

Находим корни уравнения . Получаем простой корень: .

Находим корни уравнения : . Получаем кратные корни: и .

 Точки и являются особыми точками функции (в них не регулярна).

 Разлагаем на элементарные дроби:

= = =

:  

:  



:  

.

 Для удобства дальнейших выкладок произведем замену или :

Кольца аналитичности : ,

,

.

 При получаем , .

Т.о., раскладывать дроби в ряд Лорана по степеням будем в кольце , используя разложения в ряд Тейлора.

При этом .

 = = =

 = = = = = =.

Ответ: в кольце, которму принадлежит точка +